1. **Énoncé du problème :** On a un cercle (C) de centre O et de rayon 4 cm. A est un point sur (C). La médiatrice (D) de [AO] coupe (C) en E et F. 2. **Montrer que le triangle AEO est équilatéral :** - Le triangle AEO a pour sommets A, E, et O. - Puisque A est sur le cercle de centre O et rayon 4, on a $OA = 4$ cm. - E est sur la médiatrice de [AO], donc $AE = EO$ car la médiatrice est l'ensemble des points équidistants de A et O. - On a donc $AO = OE = EA = 4$ cm. - Un triangle avec trois côtés égaux est équilatéral. 3. **Nature du quadrilatère AEOF :** - Les points A, E, O, F sont sur le cercle (C), donc AEOF est un quadrilatère inscrit dans un cercle. - La médiatrice (D) coupe le cercle en E et F, donc E et F sont symétriques par rapport à (D). - Puisque (D) est la médiatrice de [AO], on a $AE = EO$ et $FE = FO$. - Le quadrilatère AEOF a ses diagonales qui se coupent en leur milieu (car I est centre), donc c'est un parallélogramme. - De plus, AEOF est inscrit dans un cercle, donc c'est un losange. 4. **Définitions :** - I est le centre du quadrilatère AEOF (intersection des diagonales). - L est le milieu de [AF]. - M est le symétrique de I par rapport à L. 5. **Nature du quadrilatère IAMF :** - Par construction, M est le symétrique de I par rapport à L, donc $L$ est le milieu de [IM]. - L est aussi le milieu de [AF]. - Les segments [IM] et [AF] ont donc le même milieu L. - Par conséquent, IAMF est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu. **Réponse finale :** - Le triangle AEO est équilatéral. - Le quadrilatère AEOF est un losange. - Le quadrilatère IAMF est un parallélogramme.