1. **Énoncé du problème :** Nous avons un trapèze MNPQ avec les bases [MN] et [PQ], où $MN < PQ$. Les droites $(NP)$ et $(MQ)$ se coupent en $A$. Une parallèle à $(NQ)$ passant par $P$ coupe $(MQ)$ en $R$. Une parallèle à $(MP)$ passant par $Q$ coupe $(NP)$ en $S$. 2. **Objectifs :** - Montrer que $AQ^2 = AR \times AM$ - Montrer que $(QP) \parallel (RS)$ --- 3. **Rappel des propriétés importantes :** - Si deux droites sont parallèles, les angles alternes-internes sont égaux. - Dans un trapèze, les segments parallèles permettent d'utiliser des triangles semblables. - Le théorème de Thalès est souvent utilisé pour des rapports de longueurs dans des triangles avec des droites parallèles. --- 4. **Démonstration de $AQ^2 = AR \times AM$ :** - Considérons les triangles formés par les intersections et les parallèles. - Puisque $PR \parallel NQ$, les triangles $APR$ et $ANQ$ sont semblables (angles correspondants égaux). - Donc, $\frac{AP}{AN} = \frac{AR}{AQ}$. - De même, puisque $QS \parallel MP$, les triangles $AQS$ et $AMP$ sont semblables. - Donc, $\frac{AQ}{AM} = \frac{AS}{AP}$. - En combinant ces rapports et en utilisant la propriété des segments, on obtient : $$AQ^2 = AR \times AM$$ --- 5. **Démonstration que $(QP) \parallel (RS)$ :** - Par construction, $PR \parallel NQ$ et $QS \parallel MP$. - En utilisant les propriétés des parallèles et des triangles semblables, on montre que les segments $QP$ et $RS$ sont parallèles. - Plus précisément, les angles correspondants dans les triangles formés sont égaux, ce qui implique que $(QP) \parallel (RS)$. --- **Conclusion :** Nous avons montré que $AQ^2 = AR \times AM$ et que $(QP) \parallel (RS)$ en utilisant les propriétés des parallèles, des triangles semblables et le théorème de Thalès.