1. **Énoncé du problème :** Décrire en mots, dans l'ordre, chaque étape des transformations affines données par les matrices T1, T2, T3, T4 appliquées au point $(x,y)$. 2. **Rappel des concepts :** Une transformation affine en coordonnées homogènes s'écrit $T(x,y,1)^T = (x',y',1)^T$. Les transformations élémentaires sont : - Translation par un vecteur $(t_x,t_y)$ : $$\begin{pmatrix}1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ - Rotation d'angle $\theta$ autour de l'origine (sens anti-horaire) : $$\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ - Mise à l'échelle (scaling) : $$\begin{pmatrix}s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ - Réflexion, translation combinées sont aussi possibles. 3. **Transformation T1 :** $$T_1 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ C'est une translation de vecteur $(1,0)$. 4. **Transformation T2 :** $$T_2 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0.866 & -0.5 & 0 \\ 0.5 & 0.866 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ - Étape 1 : Translation de $(-1,-1)$ (ramener le point à l'origine du repère de rotation). - Étape 2 : Rotation anti-horaire d'environ $30^\circ$ (car $\cos 30^\circ \approx 0.866$, $\sin 30^\circ = 0.5$). - Étape 3 : Translation de $(1,1)$ (remettre le point dans sa position initiale décalée). 5. **Transformation T3 :** $$T_3 = \begin{pmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -21 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ - Étape 1 : Mise à l'échelle horizontale par 2 (élargir horizontalement). - Étape 2 : Mise à l'échelle verticale par 4 (étirer verticalement). - Étape 3 : Translation de $(-2,-21)$ (déplacer le point). 6. **Transformation T4 :** $$T_4 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ - Étape 1 : Mise à l'échelle horizontale par 4. - Étape 2 : Translation de $(-4,5)$. - Étape 3 : Rotation/reflexion représentée par la matrice $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$, qui correspond à une rotation de $90^\circ$ anti-horaire. - Étape 4 : Translation de $(4,-5)$. **Remarque :** Chaque produit de matrices est appliqué de droite à gauche sur le vecteur $(x,y,1)^T$. **Application au point $(x,y) = (1.2, y)$ (remplacé par B) :** Le problème ne demande pas de calcul numérique final, seulement la description des étapes. **Réponse finale :** - T1 : Translation de $(1,0)$. - T2 : Translation $(-1,-1)$, rotation $30^\circ$ anti-horaire, translation $(1,1)$. - T3 : Mise à l'échelle horizontale par 2, mise à l'échelle verticale par 4, translation $(-2,-21)$. - T4 : Mise à l'échelle horizontale par 4, translation $(-4,5)$, rotation $90^\circ$ anti-horaire, translation $(4,-5)$.