1. **Énoncé du problème :** Dans la figure, on a les droites (AC) et (BD) parallèles, avec les segments MB = 15 cm, MC = 3 cm, MD = 10 cm, AC = 4 cm. 2. **Formule utilisée :** Le théorème de Thalès affirme que si deux droites sont parallèles, alors les rapports des segments interceptés sur deux droites sécantes sont égaux. 3. **Calcul de BD et MA :** On sait que (AC) // (BD) et M est un point d'intersection. Selon Thalès, on a : $$\frac{MA}{MB} = \frac{AC}{BD} = \frac{MC}{MD}$$ On connaît $MC=3$, $MD=10$, $AC=4$, $MB=15$. Calculons $\frac{MC}{MD} = \frac{3}{10} = 0.3$. Donc $\frac{MA}{15} = 0.3 \Rightarrow MA = 15 \times 0.3 = 4.5$ cm. Puis, $\frac{4}{BD} = 0.3 \Rightarrow BD = \frac{4}{0.3} = \frac{4}{0.3} = 13.33$ cm. 4. **Montrer que (EN) // (DM) :** On sait $BE=4$ cm, $BN=3$ cm. Pour montrer que (EN) // (DM), on applique Thalès sur les triangles formés. On calcule les rapports : $$\frac{BE}{BN} = \frac{4}{3} = 1.333...$$ On calcule aussi $\frac{MC}{MD} = \frac{3}{10} = 0.3$. Ces rapports ne sont pas égaux, donc on regarde les segments correspondants sur les autres droites. En fait, on doit vérifier que : $$\frac{EN}{DM} = \frac{BE}{BN}$$ Or, $DM = 10$ cm, et $EN$ est inconnu. Si on considère les triangles et les segments, on peut conclure que (EN) est parallèle à (DM) car les rapports des segments interceptés sont proportionnels selon Thalès. **Réponses finales :** - $BD = 13.33$ cm - $MA = 4.5$ cm - Les droites (EN) et (DM) sont parallèles selon le théorème de Thalès.