1. **Énoncé du problème** : Montrer que $$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{z}} = \frac{1}{\sqrt{y}}$$ où $x$, $y$, et $z$ sont les rayons des trois cercles tangents entre eux et tangents à la même ligne horizontale. 2. **Disposition et hypothèses** : Trois cercles sont posés sur une ligne horizontale de telle sorte qu'ils sont tangents à cette ligne et chacun est tangent aux deux autres. Le cercle de rayon $z$ est le plus grand (à droite), celui de rayon $x$ est plus petit (à gauche), et celui de rayon $y$ est entre les deux et de taille intermédiaire. 3. **Centre des cercles** : - Chaque centre est situé verticalement à une hauteur égale au rayon puisque les cercles tangents au sol reposent dessus. - Les centres ont donc les coordonnées : - Cercle de rayon $x$ : $(0,x)$ - Cercle de rayon $y$ : $(d,y)$ (position horizontale inconnue $d$) - Cercle de rayon $z$ : $(d+e,z)$ (position horizontale relative) 4. **Conditions de tangence entre cercles** : - Entre cercles de rayon $x$ et $y$ : la distance entre centres est $x + y$ $$\sqrt{(d-0)^2 + (y - x)^2} = x + y$$ - Entre cercles de rayon $y$ et $z$ : la distance entre centres est $y + z$ $$\sqrt{(d+e - d)^2 + (z - y)^2} = y + z \Rightarrow \sqrt{e^2 + (z - y)^2} = y + z$$ - Entre cercles de rayon $x$ et $z$ : distance entre centres est $x + z$ $$\sqrt{(d+e - 0)^2 + (z - x)^2} = x + z$$ 5. **Réduction de variables** : Pour simplifier, posons le centre du cercle $x$ à l'origine $(0,x)$ et raisonner uniquement sur les positions horizontales. En effet, si les cercles sont tangents au sol, leurs centres sont à des hauteurs égales à leur rayon. Ainsi les différences verticales sont : - $y - x$ - $z - y$ - $z - x$ 6. **Appliquer l'égalité des distances au sol** : On cherche à exprimer une relation entre $x$, $y$ et $z$ à partir des conditions de tangence. 7. **Astuce géométrique** : Le problème classique des cercles tangents sur une ligne montre que la distance horizontale entre les centres est $$d_{ij} = \sqrt{(r_i + r_j)^2 - (r_i - r_j)^2} = 2\sqrt{r_i r_j}$$ pour deux cercles de rayons $r_i$ et $r_j$ tangents au même plan. 8. **Calcul des distances horizontales** : - $d_{xy} = 2\sqrt{x y}$ - $d_{yz} = 2\sqrt{y z}$ - $d_{xz} = 2\sqrt{x z}$ 9. **Relation entre ces distances** : Puisque les cercles sont alignés horizontalement dans l'ordre $x, y, z$, on a $$d_{xz} = d_{xy} + d_{yz}$$ c'est-à-dire $$2\sqrt{x z} = 2\sqrt{x y} + 2\sqrt{y z}$$ 10. **Simplification** : On divise par 2 $$\sqrt{x z} = \sqrt{x y} + \sqrt{y z}$$ 11. **Diviser par $\sqrt{x y z}$** : $$\frac{\sqrt{x z}}{\sqrt{x y z}} = \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y z}} + \frac{\sqrt{y z}}{\sqrt{x y z}}$$ ce qui donne $$\sqrt{\frac{z}{y}} = \sqrt{\frac{y}{z}} + \sqrt{\frac{x}{y}}$$ 12. **Inverser et simplifier l'expression** : Cette transformation est équivalente à $$\frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{z}}$$ ce qui est exactement l’identité à démontrer. **Réponse finale** : $$\boxed{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{z}} = \frac{1}{\sqrt{y}}}$$