1. **Exercice 02**: Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$. 1. Construire $C'$ le symétrique de $C$ par rapport à $A$ signifie que $A$ est le milieu de $[CC']$. La formule du symétrique d'un point $C(x_C,y_C)$ par rapport à un point $A(x_A,y_A)$ est : $$C' = (2x_A - x_C, 2y_A - y_C)$$ 2. Pour démontrer que $C'$ est le symétrique de $C$ par rapport à la droite $(AB)$, on utilise la propriété que la droite $(AB)$ est la médiatrice du segment $[CC']$. Cela implique que $(AB)$ est perpendiculaire à $[CC']$ et que $C$ et $C'$ sont équidistants de $(AB)$. On peut montrer cela en calculant les projections orthogonales et en vérifiant les distances. 3. **Exercice 03**: Soit $ABC$ un triangle avec $AB=5$, $AC=6$, $BC=7$. 1. Construire le triangle $ABC$ en traçant un segment $[AB]$ de longueur 5, puis en plaçant $C$ tel que $AC=6$ et $BC=7$. 2. Construire $A'$, le symétrique de $A$ par rapport à la droite $(BC)$. La formule pour le symétrique d'un point $P$ par rapport à une droite $(d)$ est : Si $(d)$ a une équation $ax + by + c = 0$, alors $$P' = P - 2 \frac{a x_P + b y_P + c}{a^2 + b^2} (a,b)$$ 3. Le symétrique de la droite $(AB)$ par rapport à la droite $(BC)$ est la droite obtenue en réfléchissant chaque point de $(AB)$ par rapport à $(BC)$. Cette droite est la réflexion de $(AB)$ par rapport à $(BC)$, donc c'est une droite parallèle ou symétrique selon la position relative. La justification vient de la propriété que la réflexion est une isométrie conservant les distances et les angles. 4. **Exercice 04**: Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$. 1. Construire $(\Delta)$ le symétrique de la droite $(AC)$ par rapport à la droite $(BD)$. La symétrie axiale d'une droite par rapport à une autre droite est une réflexion. On applique la réflexion de chaque point de $(AC)$ par rapport à $(BD)$. 2. Construire $(D)$ le symétrique de la droite $(BD)$ par rapport à la droite $(AC)$. 3. Montrer que $(D)$ et $(\Delta)$ sont sécantes en $O$. Puisque $O$ est le centre du parallélogramme, il est le point d'intersection des diagonales $(AC)$ et $(BD)$. La réflexion conserve ce point, donc les images $(D)$ et $(\Delta)$ se coupent en $O$. 5. **Exercice 05**: Soit $[AB]$ un segment avec $l$ son milieu, et $(\Delta)$ une droite passant par $l$. 1. Construire $E$, le symétrique de $A$ par rapport à $(\Delta)$, en utilisant la formule de réflexion d'un point par rapport à une droite. 2. Construire $F$, le symétrique de $B$ par rapport à $(\Delta)$ de la même manière. **Résumé**: Ces exercices portent sur les symétries axiales et centrales dans le plan, utilisant les propriétés des milieux, des réflexions par rapport à un point ou une droite, et les propriétés des parallélogrammes.