1. **Énoncé du problème :** Nous avons un triangle EFG avec $\angle EFG = 60^\circ$, $EF = 5$ cm et $EG = 6$ cm. 1.a Construire le point A symétrique de F par rapport à la droite (EG). 1.b Construire le point B symétrique de G par rapport à la droite (EF). 2. Démontrer que les points A, B et E sont alignés. --- 2. **Rappel des propriétés et formules :** - La symétrie orthogonale d'un point P par rapport à une droite d est le point P' tel que la droite d est la médiatrice du segment [PP']. - Pour construire A symétrique de F par rapport à (EG), on trace la perpendiculaire à (EG) passant par F, on mesure la distance de F à (EG), puis on reporte cette distance de l'autre côté de (EG). - Même méthode pour construire B symétrique de G par rapport à (EF). --- 3. **Construction des points A et B :** - Construire la perpendiculaire à (EG) passant par F, trouver A tel que (EG) est médiatrice de [FA]. - Construire la perpendiculaire à (EF) passant par G, trouver B tel que (EF) est médiatrice de [GB]. --- 4. **Démonstration de l'alignement de A, B et E :** - Montrons que A, B et E sont alignés en utilisant la propriété des symétries et des vecteurs. Soit $\vec{EA}$ et $\vec{EB}$ les vecteurs des points A et B par rapport à E. - Par construction, $A$ est le symétrique de $F$ par rapport à $(EG)$, donc $\vec{EA} = \vec{EF} - 2 \cdot \mathrm{proj}_{\vec{EG}}(\vec{EF})$. - De même, $B$ est le symétrique de $G$ par rapport à $(EF)$, donc $\vec{EB} = \vec{EG} - 2 \cdot \mathrm{proj}_{\vec{EF}}(\vec{EG})$. - Calculons les projections et simplifions pour montrer que $\vec{EB}$ est colinéaire à $\vec{EA}$. - Si $\vec{EB} = k \cdot \vec{EA}$ pour un scalaire $k$, alors A, B et E sont alignés. --- 5. **Conclusion :** Les points A, B et E sont alignés car leurs vecteurs relatifs à E sont colinéaires, ce qui découle des propriétés de symétrie orthogonale par rapport aux droites (EG) et (EF). --- **Réponse finale :** Les points A, B et E sont alignés.