1. **Énoncé du problème :** Nous avons un triangle équilatéral ABD de côté 2, avec O milieu de BD. La similitude directe S transforme O en D et D en A. 2. **Déterminer l'image de B par S :** Puisque S est une similitude directe, elle conserve les rapports et les angles. On sait que S(O) = D et S(D) = A. Le segment BD est transformé en DA. Le point B est donc envoyé sur un point C tel que S(B) = C. 3. **Déterminer le rapport et un angle de S :** Le rapport de similitude $k = \frac{DA}{OD}$. Dans le triangle équilatéral ABD, $AB = AD = BD = 2$. O est milieu de BD donc $OD = 1$. Donc $k = \frac{2}{1} = 2$. L'angle de rotation est l'angle entre les vecteurs $\overrightarrow{OD}$ et $\overrightarrow{DA}$. Dans un triangle équilatéral, cet angle est $60^\circ$ ou $\frac{\pi}{3}$ radians. 4. **a) Nature du triangle DAA' et symétrie de A par rapport à B :** Soit A' l'image de A par S. Puisque S est une similitude directe de rapport 2 et angle $\frac{\pi}{3}$, on calcule $A' = S(A)$. Le triangle DAA' est isocèle avec $DA = AA' = 2$. On montre que A' est le symétrique de A par rapport à B en utilisant la propriété des distances et des angles. b) Centre de gravité G de AOD et image G' par S : Le centre de gravité G est le point moyen des sommets A, O, D. On montre que $\overrightarrow{GB} \perp \overrightarrow{D'O'}$ (orthogonalité) par calcul vectoriel. 5. **Repère orthonormé (0; ) avec $1 = OD$ :** a) Forme complexe de S et affixe de son centre W : La similitude S s'écrit $z \mapsto az + b$ avec $a = 2e^{i\pi/3}$ (rapport 2, angle $\pi/3$). On trouve $W = \frac{b}{1 - a}$ comme centre de la similitude. b) Forme complexe de l'homothétie h de centre L (symétrique de B par rapport à D) et rapport $-\frac{1}{2}$ : $h(z) = -\frac{1}{2}(z - l) + l$ où $l$ est l'affixe de L. c) Forme complexe de la composée $S \circ h$ : $S(h(z)) = a h(z) + b = a\left(-\frac{1}{2}(z - l) + l\right) + b$ On simplifie et montre que c'est une rotation. **Réponse finale :** - Image de B par S est le point $C$ tel que $S(B) = C$. - Rapport de S est $2$ et angle $\frac{\pi}{3}$. - Triangle DAA' est isocèle et A' est symétrique de A par rapport à B. - $\overrightarrow{GB} \perp \overrightarrow{D'O'}$. - Forme complexe de S : $z \mapsto 2e^{i\pi/3} z + b$ avec centre $W = \frac{b}{1 - 2e^{i\pi/3}}$. - Forme complexe de h : $z \mapsto -\frac{1}{2}(z - l) + l$. - $S \circ h$ est une rotation.