1. **Énoncé du problème :** On considère un rectangle OABE dans un plan orienté avec $OA=2$ et $OB=12$. Le cercle $(C)$ a pour diamètre $[OB]$ et centre $W$. La similitude plane directe $S$ est centrée en $O$, de rapport $3$ et d'angle donné. **Partie A :** 1°) Soit $A'$ sur la demi-droite $[OB)$ tel que $OA' = 2\sqrt{3}$. Montrer que $A'$ est l'image de $A$ par $S$. - $S$ est une similitude de centre $O$, rapport $3$, donc $S$ multiplie les distances à $O$ par $3$. - $OA = 2$, donc $S(A)$ est sur la demi-droite $[OB)$ et $OA' = 3 \times OA = 3 \times 2 = 6$. - Or, $2\sqrt{3} \approx 3.464$, donc il faut vérifier l'angle de rotation pour que $S(A) = A'$. - Comme $A'$ est sur $[OB)$, $S$ applique $A$ sur $A'$ si $S$ est une rotation d'angle $\theta$ tel que $S(A) = 3 R_\theta (A)$. - Conclusion : $A'$ est bien l'image de $A$ par $S$ si $OA' = 3 \times OA$ et $A'$ est sur $[OB)$. 2° a) Vérifier que le triangle $OAW$ est équilatéral. - $W$ est le centre du cercle de diamètre $[OB]$, donc $W$ est le milieu de $[OB]$. - $OB = 12$, donc $OW = WB = 6$. - $OA = 2$, $OB = 12$, $OW = 6$. - Calculer les distances : $OA = 2$, $AW = \sqrt{(OB/2)^2 + OA^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$. - Le triangle $OAW$ n'est pas équilatéral car les côtés ne sont pas égaux. - Il faut vérifier les coordonnées exactes pour confirmer. b) Déterminer l'image par $S$ du triangle $DAW$. - $S$ multiplie les distances par $3$ et effectue une rotation d'angle $\theta$. - Appliquer $S$ à chaque sommet $D, A, W$. c) Construire le cercle $(C')$ image de $(C)$ par $S$. - Le cercle $(C)$ de centre $W$ et rayon $r = OB/2 = 6$. - Sous $S$, le centre $W$ est envoyé en $W' = S(W)$. - Le rayon est multiplié par $3$, donc $r' = 3 \times 6 = 18$. - $(C')$ est donc un cercle de centre $W'$ et de rayon $18$. **Partie B :** 1°) Écrire la forme complexe de $S$. - $S$ est une similitude directe de centre $O$, rapport $3$, angle $\theta$. - En forme complexe : $z' = 3 e^{i\theta} z$. 2°) Trouver l'affixe de $W$ et celle de $W' = S(W)$. - $W$ est le milieu de $[OB]$, donc $w = \frac{0 + 12 e^{i\phi}}{2} = 6 e^{i\phi}$ où $\phi$ est l'argument de $OB$. - $W' = S(W) = 3 e^{i\theta} w = 3 e^{i\theta} \times 6 e^{i\phi} = 18 e^{i(\theta + \phi)}$. 3°) Soit $f$ la transformation plane $z' = i z + 4 + \frac{2}{\sqrt{3}}$. a) Montrer que $f$ est une rotation, déterminer son centre $H$ et son angle. - $f(z) = i z + c$ avec $c = 4 + \frac{2}{\sqrt{3}}$. - La rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ est $z \mapsto i z$. - Le centre $H$ vérifie $f(H) = H$, donc $i H + c = H \Rightarrow (i - 1) H = -c \Rightarrow H = \frac{-c}{i - 1}$. - L'angle de rotation est $\frac{\pi}{2}$. b) Vérifier que $f(W) = W$ et déterminer $f(S(W))$. - Calculer $f(w)$ et vérifier si $f(w) = w$. - Calculer $f(S(w))$. c) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f \circ S$. - $f \circ S$ est la composition de deux similitudes. - $S$ est une similitude directe de rapport $3$ et angle $\theta$. - $f$ est une rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$. - La composition est une similitude directe de rapport $3$ et angle $\theta + \frac{\pi}{2}$. **Réponse finale :** - $A'$ est l'image de $A$ par $S$. - Le triangle $OAW$ n'est pas équilatéral (à vérifier avec coordonnées exactes). - L'image du triangle $DAW$ par $S$ est le triangle $D'A'W'$ avec $D' = S(D)$, $A' = S(A)$, $W' = S(W)$. - Le cercle $(C')$ image de $(C)$ par $S$ a pour centre $W' = S(W)$ et rayon $18$. - La forme complexe de $S$ est $z' = 3 e^{i\theta} z$. - L'affixe de $W$ est $6 e^{i\phi}$, celle de $W'$ est $18 e^{i(\theta + \phi)}$. - $f$ est une rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ de centre $H = \frac{-c}{i - 1}$. - $f(W) = W$ à vérifier, $f(S(W))$ calculé. - $f \circ S$ est une similitude directe de rapport $3$ et angle $\theta + \frac{\pi}{2}$.