1. Énoncé du problème : Nous devons trouver le nombre minimal de segments de droite qui, ensemble, respectent toutes les contraintes A, B, C, D, E, F données. 2. Données et définitions : - Segment AB a pour équation $\frac{x}{24} + \frac{y}{12} = 1$. Cette équation se réécrit en $y = 12 - \frac{1}{2}x$. - Segment CD a pour équation $3x - 4y + 28 = 0$. Sa forme en pente-intercept est $y = \frac{3}{4}x + 7$. - Le point C appartient au segment AB. - L'ordonnée du point D est $16$. 3. Calcul des points A, B, C, D : - Pour AB : - A est sur l'axe des ordonnées donc $x=0$, donc $y=12$ (car $0/24 + y/12 = 1 \Rightarrow y/12=1$). - B est sur l'axe des abscisses donc $y=0$, donc $x=24$. - Pour CD : - C appartient à AB donc $C=(x_C,y_C)$ avec $y_C=12 - \frac{1}{2}x_C$. - De plus, $C$ est sur la droite $3x -4y + 28=0$ donc $3x_C -4y_C + 28=0$. Remplaçons $y_C$ : $$3x_C -4 \left(12 - \frac{1}{2}x_C\right) + 28=0$$ $$3x_C - 48 + 2x_C + 28=0$$ $$5x_C - 20=0 \Rightarrow x_C=4$$ Donc $y_C = 12 - \frac{1}{2} \times 4 = 12 - 2 = 10$. Ainsi $C = (4,10)$. - Trouvons $D$ sachant $y_D=16$ sur la droite $3x -4y + 28=0$ : $$3x_D - 4 \times 16 + 28 = 0$$ $$3x_D - 64 + 28 = 0$$ $$3x_D -36=0 \Rightarrow x_D=12$$ Donc $D=(12,16)$. 4. Examen des contraintes : A: La longueur du segment est égale à celle de CD. B: Le segment ne croise pas l'axe des y (donc intercept y nul ou segment sans intersection de y). C: Le segment est parallèle à AB. D: Le point O(0,0) est un point du segment. E: Le point C est sur le segment. F: Le segment est perpendiculaire à CD. 5. Calcul des longueurs : - Longueur CD : $$\sqrt{(12-4)^2 + (16-10)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100}=10$$ 6. Forme segment AB : - ABC désigne segment allant de A(0,12) à B(24,0). 7. Proposition minimaliste de segments : Segment 1 : AB - Équation : $y=12 - \frac{1}{2}x$ - Extrémités : A(0,12) et B(24,0) - Contraintes respectées : C (parallèle à AB évident), E (C appartient à AB), B (croise axe y en A, donc pas respecté B), D non, F non, A non car longueur AB est $\sqrt{24^2 + 12^2} = \sqrt{576+144} = \sqrt{720} \approx 26.83$ différent de 10 Segment 2 : CD - Équation : $3x - 4y + 28=0$ ou $y = \frac{3}{4}x + 7$ - Extrémités : C(4,10) et D(12,16) - Contraintes respectées : A (longueur = 10), E (contient C), F (car segment CD est perpendiculaire à AB?), testons la pente du segment AB : pente AB = $-1/2$ pente CD = $3/4$ produit = $-1/2 \times 3/4 = -3/8 \neq -1$ donc pas perpendiculaire - F non respectée ici, D non, B non, C non Segment 3 : Segment passant par O(0,0) perpendiculaire à CD (pour F et D) - Pente CD = $3/4$, donc pente perpendiculaire = $-4/3$. - Équation : $y = -\frac{4}{3}x$ (passe par O) - Fixons extrémités pour avoir longueur = 10 (car propriété A demandée pour un autre segment, pas forcément celui-ci) Calculons extrémités : - Soit $M$ sur cette droite à distance 10 de O. $$ OM = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + \left(-\frac{4}{3}x\right)^2} = \sqrt{x^2 + \frac{16}{9}x^2} = \sqrt{\frac{25}{9}x^2} = \frac{5}{3}|x| $$ On veut $OM = 10 \Rightarrow \frac{5}{3}|x|=10 \Rightarrow |x|=6$. Prendre $x=6$, $y=-\frac{4}{3} \times 6 = -8$. Ainsi extrémités : O(0,0) et M(6,-8). Contraintes respectées : D (contient O(0,0)), F (perpendiculaire à CD). 8. Segment 4 : Segment pour respecter B (ne croise pas axe des y) - Une droite parallèle à l'axe des x, par exemple $y = k$ avec $k \neq 0$. - Choisir $y=10$, longueur 10. Extrémités (pour longueur 10) : - De $x=0$ à $x=10$, points (0,10) à (10,10) Contraintes respectées : B 9. Synthèse des segments : | Segment | Équation | Extrémités | Contraintes| |---------|-------------------------|---------------------|------------| | 1 | $y=12 - \frac{1}{2}x$ | (0,12) et (24,0) | C, E | | 2 | $3x - 4y + 28=0$ | (4,10) et (12,16) | A, E | | 3 | $y = -\frac{4}{3}x$ | (0,0) et (6,-8) | D, F | | 4 | $y=10$ | (0,10) et (10,10) | B | 10. Conclusion : Le nombre minimal de segments est 4 pour couvrir toutes les contraintes A à F. --- Réponse finale : - 4 segments - Leur équation, extrémités, contraintes respectées ci-dessus. ------------