1. **Énoncé du problème :** On a deux situations avec des angles autour de segments AB et MN. - Sur le segment AB, on connaît les angles $\widehat{CAB} = 45^\circ$ et $\widehat{PAB} = 35^\circ$. Il faut trouver l'angle $\widehat{CAP}$. - Sur le segment MN, on connaît les angles $M\widehat{NA} = 80^\circ$ et $A\widehat{NC} = 30^\circ$. Il faut trouver l'angle $M\widehat{NC}$. 2. **Formule et règles importantes :** Quand deux angles sont adjacents et partagent un côté, la somme de leurs mesures donne l'angle formé par les deux côtés extrêmes. Pour deux angles sur des côtés opposés d'un segment, la somme des angles autour d'un point est $360^\circ$. 3. **Calcul de $\widehat{CAP}$ :** Les angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{PAB}$ sont de part et d'autre du segment $AB$ au point $A$. Donc, l'angle $\widehat{CAP}$ est la somme de ces deux angles : $$\widehat{CAP} = \widehat{CAB} + \widehat{PAB} = 45^\circ + 35^\circ = 80^\circ$$ 4. **Nom de l'angle $\widehat{CAP}$ :** Cet angle est un **angle rentrant** ou **angle concave** si on considère la figure complète, mais ici c'est simplement la somme des deux angles adjacents de part et d'autre du segment. 5. **Calcul de $M\widehat{NC}$ :** Les angles $M\widehat{NA} = 80^\circ$ et $A\widehat{NC} = 30^\circ$ sont du même côté du segment $MN$ au point $N$. Donc, l'angle $M\widehat{NC}$ est la somme : $$M\widehat{NC} = M\widehat{NA} + A\widehat{NC} = 80^\circ + 30^\circ = 110^\circ$$ 6. **Nom de l'angle $M\widehat{NC}$ :** C'est un angle **convexe** car sa mesure est inférieure à $180^\circ$. **Réponses finales :** - $\widehat{CAP} = 80^\circ$ - $M\widehat{NC} = 110^\circ$