1. **Énoncé du problème** : On considère un rectangle ABCD de centre 0, avec AB = 2a et AD = a, où a > 0. 2. **Définition des points** : - E est tel que $\overrightarrow{BE} = \frac{1}{5} \overrightarrow{BA}$. - F est tel que $\overrightarrow{CF} = \frac{1}{5} \overrightarrow{CB}$. - I est défini par une opération $I = E * F$ (non précisée ici). 3. **Interprétation géométrique** : - Le rectangle est centré en 0, donc le centre O a pour coordonnées $(0,0)$. - AB est horizontal de longueur $2a$, donc $A=(-a, \frac{a}{2})$ et $B=(a, \frac{a}{2})$. - AD est vertical de longueur $a$, donc $D=(-a, -\frac{a}{2})$ et $C=(a, -\frac{a}{2})$. 4. **Calcul des coordonnées de E** : - $\overrightarrow{BA} = A - B = (-a, \frac{a}{2}) - (a, \frac{a}{2}) = (-2a, 0)$. - $\overrightarrow{BE} = \frac{1}{5} \overrightarrow{BA} = \left(-\frac{2a}{5}, 0\right)$. - Donc $E = B + \overrightarrow{BE} = \left(a - \frac{2a}{5}, \frac{a}{2} + 0\right) = \left(\frac{3a}{5}, \frac{a}{2}\right)$. 5. **Calcul des coordonnées de F** : - $\overrightarrow{CB} = B - C = (a, \frac{a}{2}) - (a, -\frac{a}{2}) = (0, a)$. - $\overrightarrow{CF} = \frac{1}{5} \overrightarrow{CB} = \left(0, \frac{a}{5}\right)$. - Donc $F = C + \overrightarrow{CF} = \left(a, -\frac{a}{2} + \frac{a}{5}\right) = \left(a, -\frac{3a}{10}\right)$. 6. **Remarque** : L'opération $I = E * F$ n'est pas définie, donc on ne peut pas calculer I. 7. **Conclusion** : Les points E et F ont pour coordonnées respectives $\left(\frac{3a}{5}, \frac{a}{2}\right)$ et $\left(a, -\frac{3a}{10}\right)$ dans le repère centré en 0. Le dessin demandé ne peut pas être fourni ici, mais ces coordonnées permettent de tracer précisément le rectangle et les points E et F.