1. **Énoncé du problème :** Compléter les égalités de rapports de segments dans la figure géométrique donnée. 2. **Rappel des propriétés importantes :** - Dans un carré ABCD, les côtés sont égaux et les angles droits. - Les rapports de segments sur des droites parallèles ou dans des triangles semblables sont égaux. - Utiliser la propriété des triangles semblables pour établir les égalités de rapports. 3. **Analyse et calculs :** - Pour $\frac{AI}{AG} = \frac{AB}{...}$, comme $AB$ est un côté du carré, on cherche le segment correspondant sur $AG$. - De même pour $\frac{FD}{FA}$, $\frac{CB}{CG}$, $\frac{HD}{HC}$, $\frac{GB}{GC}$, $\frac{IB}{ID}$, on applique la propriété des triangles semblables ou des segments proportionnels. 4. **Complétion des égalités :** - $\frac{AI}{AG} = \frac{AB}{AG}$ - $\frac{FD}{FA} = \frac{FD}{FA}$ (reste identique car segments sur la même droite) - $\frac{CB}{CG} = \frac{CB}{CG}$ - $\frac{HD}{HC} = \frac{HD}{HC}$ - $\frac{GB}{GC} = \frac{GB}{GC}$ - $\frac{IB}{ID} = \frac{IB}{ID}$ 5. **Explication pédagogique :** Les rapports de segments dans des figures géométriques comme les carrés et triangles sont souvent égaux grâce aux propriétés des triangles semblables et des parallèles. Identifier les segments correspondants et appliquer ces propriétés permet de compléter les égalités demandées. **Réponse finale :** $$\frac{AI}{AG} = \frac{AB}{AG} = 1, \quad \frac{FD}{FA} = 1, \quad \frac{CB}{CG} = 1, \quad \frac{HD}{HC} = 1, \quad \frac{GB}{GC} = 1, \quad \frac{IB}{ID} = 1$$ Cela signifie que chaque rapport est égal à 1, car les segments sont égaux dans le carré et les triangles construits.