1. Énoncé du problème : Calculer les produits scalaires suivants dans le triangle ABC avec H le projeté orthogonal de A sur (BC) et les longueurs données AB=6, BH=4, HC=5. Niveau Novice : (a) Calcul de $\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{CA}$ : 2. Observons que $\overrightarrow{CH} = \overrightarrow{H} - \overrightarrow{C}$ et $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}$. 3. Puisque H est la projection orthogonale de A sur BC, $\overrightarrow{AH}$ est orthogonal à $\overrightarrow{BC}$ donc $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$. 4. On connaît les longueurs : $BH = 4$, $HC = 5$, donc $BC = BH + HC = 9$. 5. Choisissons un repère dans la droite BC pour exprimer ces vecteurs : - Plaçons $B$ à l'origine, $C$ en $x=9$. - Alors $H$ est en $x=4$. 6. Le vecteur $\overrightarrow{CH} = H - C = 4 - 9 = -5$ en direction de BC. 7. Pour $\overrightarrow{CA}$, on note $|AB|=6$, et $AH$ orthogonal à BC, on peut trouver la longueur $AH$ par le théorème de Pythagore dans le triangle ABH : $$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ 8. Puis, $\overrightarrow{CA}$ a une composante horizontale $HC=5$ et une verticale $AH=2\sqrt{5}$. 9. Donc le produit scalaire : $$\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{CA} = (-5) \times 5 + 0 \times 2\sqrt{5} = -25$$ (car $\overrightarrow{CH}$ est uniquement horizontal, $\overrightarrow{CA}$ a une composante horizontale 5) (b) Calcul de $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{HB}$ : 10. $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = 9$ (car B en 0, C en 9) 11. $\overrightarrow{HB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{H} = 0 - 4 = -4$ 12. Donc $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{HB} = 9 \times (-4) = -36$$ Niveau Satisfaisant : Pas de données précises numériques fournies pour les points, donc réponse non calculable ici. Niveau Expert : Déterminer l'équation de la tangente au cercle de diamètre AB passant en A où A(-2;1), B(2;3). 13. Le cercle de diamètre AB a comme centre le milieu $M$ de AB : $$M = \left(\frac{-2+2}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = (0, 2)$$ 14. Le rayon est $\frac{AB}{2}$ mais non nécessaire ici. 15. L'équation du cercle est donnée par : $$|\overrightarrow{AM}| = |\overrightarrow{BM}|$$, ou en coordonnées : $$(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = \text{constante}$$ 16. La tangente au cercle en A est orthogonale au rayon $\overrightarrow{MA}$ : $$\overrightarrow{MA} = A - M = (-2 - 0, 1 - 2) = (-2, -1)$$ 17. La pente du rayon est : $$m_r = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$$ 18. La pente de la tangente, perpendiculaire au rayon, est : $$m_t = -\frac{1}{m_r} = -2$$ 19. L'équation de la tangente passant par A(-2;1) : $$y - 1 = -2(x + 2)$$ ou $$y = -2x - 4 + 1 = -2x - 3$$ Réponse finale : - Niveau Novice : (a) $\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{CA} = -25$ (b) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{HB} = -36$ - Niveau Expert : Équation de la tangente : $y = -2x - 3$