1. Énoncé du problème : Calculer les vecteurs $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$, puis leur produit scalaire $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$. En déduire $\cos(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC})$, $\sin(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC})$ et la mesure principale de l'angle orienté $(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC})$. 2. Calcul des vecteurs : $$\overrightarrow{BA} = A - B = (3 - 5, 2 - 4) = (-2, -2)$$ $$\overrightarrow{BC} = C - B = (1 - 5, 4 - 4) = (-4, 0)$$ 3. Calcul du produit scalaire : $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-2)(-4) + (-2)(0) = 8 + 0 = 8$$ 4. Calcul des normes : $$\|\overrightarrow{BA}\| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ $$\|\overrightarrow{BC}\| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$ 5. Calcul de $\cos(\theta)$ où $\theta$ est l'angle entre $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ : $$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{BA}\| \times \|\overrightarrow{BC}\|} = \frac{8}{2\sqrt{2} \times 4} = \frac{8}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 6. Calcul de $\sin(\theta)$ en utilisant $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ : $$\sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 7. La mesure principale de l'angle orienté $(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC})$ est donc $\theta = \frac{\pi}{4}$ radians (ou 45 degrés), car $\cos(\theta) > 0$ et $\sin(\theta) > 0$ indique un angle dans le premier quadrant. Réponse finale : $$\overrightarrow{BA} = (-2, -2), \quad \overrightarrow{BC} = (-4, 0), \quad \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 8$$ $$\cos(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\text{Angle orienté } (\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC}) = \frac{\pi}{4}$$