1. **Énoncé du problème 21 :** Étudier si les droites (KS) et (PN) sont parallèles dans le parallélogramme KMNL de centre O, avec P le projeté orthogonal de N sur (KM) et S le symétrique de P par rapport à O. 2. **Formules et propriétés utiles :** - Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, donc O est le milieu de [KN] et de [ML]. - Le symétrique d'un point P par rapport à O est donné par $\vec{OS} = -\vec{OP}$. - Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. 3. **Calcul des vecteurs :** - Soit $\vec{KM}$ la direction de la droite (KM). - P est le projeté orthogonal de N sur (KM), donc $\vec{NP} \perp \vec{KM}$. - S est le symétrique de P par rapport à O, donc $\vec{OS} = -\vec{OP}$. 4. **Vecteurs directeurs des droites (KS) et (PN) :** - $\vec{KS} = \vec{OS} - \vec{OK} = -\vec{OP} - \vec{OK}$. - $\vec{PN} = \vec{N} - \vec{P}$. 5. **Étude de la colinéarité :** - Calculer $\vec{KS}$ et $\vec{PN}$ en fonction des vecteurs connus. - Vérifier si $\vec{KS} = \lambda \vec{PN}$ pour un scalaire $\lambda$. 6. **Conclusion :** - Si $\vec{KS}$ et $\vec{PN}$ ne sont pas colinéaires, alors les droites (KS) et (PN) ne sont pas parallèles. - Le fils a donc raison, le plan ne répond pas aux aspirations du cultivateur. --- 1. **Énoncé du problème 22 :** Trouver les points I sur [AB] et P sur [AC] pour minimiser la longueur du circuit OIPO dans le triangle ABC avec O sur [BC]. 2. **Propriétés et méthode :** - Le circuit OIPO est formé par les segments [OI], [IP], et [PO]. - Pour minimiser la somme des distances, on utilise la réflexion du point O par rapport à la droite [AB] et [AC]. 3. **Programme de construction :** - Réfléchir le point O par rapport à la droite (AB) pour obtenir $O'$. - Réfléchir le point O par rapport à la droite (AC) pour obtenir $O''$. - Le point I est l'intersection de la droite $OO''$ avec (AB). - Le point P est l'intersection de la droite $OO'$ avec (AC). 4. **Justification :** - Le chemin OIPO est minimal lorsque le trajet correspond à une ligne droite entre les points réfléchis, ce qui minimise la distance totale. --- 1. **Énoncé du problème 23 :** Déterminer les points A sur la rive (D1) et B sur la rive (D2) du fleuve pour minimiser la distance totale $SA + AB + BO$ avec S et O de part et d'autre du fleuve. 2. **Méthode :** - Reproduire la figure avec les rives parallèles (D1) et (D2). - Réfléchir le point O par rapport à la rive (D2) pour obtenir $O'$. 3. **Construction :** - Tracer la droite $SO'$. - Le point A est l'intersection de $SO'$ avec la rive (D1). - Le point B est le projeté orthogonal de A sur la rive (D2). 4. **Justification :** - Le chemin $SA + AB + BO$ est minimal lorsque le trajet correspond à la ligne droite $SO'$ réfléchie, ce qui est une application du principe du chemin le plus court avec réflexion. --- Finalement, le fils a raison pour le problème 21, le plan ne respecte pas la parallélisme souhaité. Pour le problème 22, la méthode de réflexion permet de construire les points I et P minimisant le circuit. Pour le problème 23, la réflexion du point O et la construction des points A et B minimisent la distance totale de nage.