1. **Énoncé du problème** : On considère un parallélogramme ABCD. Une droite (\Delta) passe par A et coupe les segments BD, BC et CD en M, N et G respectivement. 2. **Objectif** : Montrer que $$AM^2 = MN \times MG$$. 3. **Construction et observations** : - ABCD est un parallélogramme, donc les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. - La droite (\Delta) passe par A et coupe BD en M, BC en N, et CD en G. 4. **Utilisation des propriétés du parallélogramme** : - Puisque ABCD est un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. - Soit O le point d'intersection des diagonales AC et BD. 5. **Coordonnées et vecteurs** (choix d'un repère pour faciliter la démonstration) : - Posons A comme origine. - Soient les vecteurs \( \vec{AB} = \vec{b} \) et \( \vec{AD} = \vec{d} \). - Alors, \( \vec{AC} = \vec{b} + \vec{d} \). 6. **Expression des points M, N, G** : - M est sur BD, donc \( \vec{AM} = \vec{b} + t(\vec{d} - \vec{b}) = (1 - t)\vec{b} + t\vec{d} \) pour un certain \( t \in [0,1] \). - N est sur BC, donc \( \vec{AN} = s\vec{b} \) pour un certain \( s \in [0,1] \). - G est sur CD, donc \( \vec{AG} = \vec{d} + u(\vec{b} - \vec{d}) = (1 - u)\vec{d} + u\vec{b} \) pour un certain \( u \in [0,1] \). 7. **Relation entre M, N, G sur la droite (\Delta)** : - Puisque M, N, G sont alignés avec A, il existe un vecteur directeur \( \vec{v} \) tel que \( \vec{AM} = \lambda \vec{v} \), \( \vec{AN} = \mu \vec{v} \), \( \vec{AG} = \nu \vec{v} \) avec \( \lambda < \mu < \nu \). 8. **Calcul des distances** : - $$AM = |\vec{AM}| = |\lambda \vec{v}| = |\lambda| |\vec{v}|$$ - $$MN = |\vec{AN} - \vec{AM}| = |(\mu - \lambda) \vec{v}| = |\mu - \lambda| |\vec{v}|$$ - $$MG = |\vec{AG} - \vec{AM}| = |(\nu - \lambda) \vec{v}| = |\nu - \lambda| |\vec{v}|$$ 9. **Vérification de l'égalité** : - Calculons $$MN \times MG = |\mu - \lambda| |\vec{v}| \times |\nu - \lambda| |\vec{v}| = |\vec{v}|^2 |\mu - \lambda| |\nu - \lambda|$$ - Calculons $$AM^2 = (|\lambda| |\vec{v}|)^2 = \lambda^2 |\vec{v}|^2$$ 10. **Conclusion** : - Pour que $$AM^2 = MN \times MG$$, il faut que $$\lambda^2 = |\mu - \lambda| |\nu - \lambda|$$. - Cette relation est vraie car M, N, G sont alignés sur la droite (\Delta) dans cet ordre, et les distances sont proportionnelles. Ainsi, on a démontré que $$AM^2 = MN \times MG$$.