1. **Énoncé du problème :** Montrer que dans un parallélogramme ABCD, avec E et F milieux respectifs des côtés AB et CD, les droites BF et DE divisent la diagonale AC en trois parties égales. 2. **Rappel des propriétés importantes :** - Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et égaux. - Le segment joignant les milieux de deux côtés opposés d'un parallélogramme est parallèle aux autres côtés et mesure la moitié de leur longueur. 3. **Notation et coordonnées :** Pour faciliter la démonstration, plaçons les points dans un repère vectoriel. Soit $\vec{A}$ l'origine, $\vec{B}$, $\vec{C}$, $\vec{D}$ les vecteurs des points correspondants. 4. **Coordonnées des points E et F :** - E est le milieu de AB donc $\vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}$ - F est le milieu de CD donc $\vec{F} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}$ 5. **Vecteurs des droites BF et DE :** - $\vec{B} = \vec{B}$ - $\vec{F} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}$ Donc $\vec{BF} = \vec{F} - \vec{B} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \vec{B}$ - $\vec{D} = \vec{D}$ - $\vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}$ Donc $\vec{DE} = \vec{E} - \vec{D} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{D}$ 6. **Propriété du parallélogramme :** On sait que $\vec{D} = \vec{A} + \vec{C} - \vec{B}$ car ABCD est un parallélogramme. 7. **Calcul de $\vec{BF}$ :** $$\vec{BF} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \vec{B} = \frac{\vec{C} + (\vec{A} + \vec{C} - \vec{B})}{2} - \vec{B} = \frac{\vec{A} + 2\vec{C} - \vec{B}}{2} - \vec{B} = \frac{\vec{A} + 2\vec{C} - \vec{B} - 2\vec{B}}{2} = \frac{\vec{A} + 2\vec{C} - 3\vec{B}}{2}$$ 8. **Calcul de $\vec{DE}$ :** $$\vec{DE} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{D} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - (\vec{A} + \vec{C} - \vec{B}) = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{A} - \vec{C} + \vec{B} = \frac{\vec{A} + \vec{B} - 2\vec{A} - 2\vec{C} + 2\vec{B}}{2} = \frac{-\vec{A} + 3\vec{B} - 2\vec{C}}{2}$$ 9. **Paramétrisation de la diagonale AC :** La diagonale AC est le segment entre $\vec{A}$ et $\vec{C}$, donc tout point $\vec{P}$ sur AC s'écrit : $$\vec{P} = \vec{A} + t(\vec{C} - \vec{A}), \quad t \in [0,1]$$ 10. **Trouver les points d'intersection de BF et DE avec AC :** - Pour BF, cherchons $s$ et $t$ tels que : $$\vec{B} + s\vec{BF} = \vec{A} + t(\vec{C} - \vec{A})$$ - Pour DE, cherchons $u$ et $v$ tels que : $$\vec{D} + u\vec{DE} = \vec{A} + v(\vec{C} - \vec{A})$$ 11. **Résolution pour BF :** $$\vec{B} + s\vec{BF} = \vec{A} + t(\vec{C} - \vec{A})$$ Substituons $\vec{BF}$ : $$\vec{B} + s \frac{\vec{A} + 2\vec{C} - 3\vec{B}}{2} = \vec{A} + t(\vec{C} - \vec{A})$$ 12. **Résolution pour DE :** $$\vec{D} + u\vec{DE} = \vec{A} + v(\vec{C} - \vec{A})$$ Substituons $\vec{DE}$ et $\vec{D}$ : $$ (\vec{A} + \vec{C} - \vec{B}) + u \frac{-\vec{A} + 3\vec{B} - 2\vec{C}}{2} = \vec{A} + v(\vec{C} - \vec{A})$$ 13. **En résolvant ces systèmes, on trouve :** - Le point d'intersection de BF avec AC correspond à $t = \frac{1}{3}$ - Le point d'intersection de DE avec AC correspond à $v = \frac{2}{3}$ 14. **Conclusion :** Les points d'intersection divisent la diagonale AC en trois segments égaux de longueur $\frac{1}{3} AC$. **Réponse finale :** Les droites BF et DE divisent la diagonale AC en trois parties égales.