1. Énoncé du problème : Nous avons une figure géométrique avec les longueurs données : $AB=8$, $BC=9$, $AC=6$, $AE=4$, et $BF=6$. Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles. Nous devons : 1) Calculer la longueur $AD$. 2) Montrer que les droites $(EF)$ et $(AB)$ sont parallèles. --- 2. Calcul de $AD$ : Puisque $(BC)//(DE)$, et utilisant la propriété des triangles semblables ou le théorème de Thalès, les points $A, D, C$ et $B, E, F$ sont liés. On remarque que dans les triangles $ABC$ et $ADE$ : - $(BC)//(DE)$ - $A$ est un sommet commun Par le théorème de Thalès, nous avons : $$\frac{AB}{AE} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AD}$$ Comme $DE$ inconnue et $AD$ inconnue, utilisons la proportion suivante basée sur les segments connus : Regardons les triangles $ABF$ et $ADE$ avec $BF=6$ et $AE=4$. Pour utiliser les données, il est plus simple d'utiliser la configuration exacte mais avec les données fournies, la figure suggère que $AD = AC - DE$ ou une relation semblable. Cependant, comme $AB = 8$, $AE = 4$, on peut écrire que $AD$ correspond à la somme des segments $AE$ et $ED$ car $D$ est sur la droite entre $A$ et $C$. On doit plutôt appliquer le théorème de Thalès entre les droites $(BC)$ et $(DE)$ et la sécante $(AB)$ : $$\frac{AB}{AE} = \frac{BC}{DE}$$ À partir de là, exprimons $DE$ : $$DE = \frac{AE \times BC}{AB} = \frac{4 \times 9}{8} = 4.5$$ Ensuite, pour $AD$, sachant $AC=6$ et $DE$ parallèle à $BC$ à l'intérieur du triangle (hypothèse selon la figure), on peut écrire la relation sur la droite contenant $A, D, C$ : En effet, $AD = AC - DE$ n'est pas valide directement puisque $D$ est un point sur $(AC)$ mais $DE // BC$. S'il y a une erreur d'interprétation, on peut utiliser la proportion : $$\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{DE} \Rightarrow AD = AC \times \frac{DE}{BC} = 6 \times \frac{4.5}{9} = 6 \times 0.5 =3$$ Donc, $AD = 3$. --- 3. Montrer que $(EF)//(AB)$ : On nous donne que $(EF) \perp (FC)$ et $(AB) \perp (FC)$. Or, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. Ainsi : $$(EF) \perp (FC) \quad \text{et} \quad (AB) \perp (FC) \Rightarrow (EF) // (AB)$$ --- Réponses finales : 1) $AD = 3$. 2) Les droites $(EF)$ et $(AB)$ sont parallèles car elles sont toutes deux perpendiculaires à $(FC)$.