1. Énonçons le problème : On connaît les mesures des angles orientés $$\text{mes}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{15\pi}{4}$$ et $$\text{mes}(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})=-\frac{\pi}{6}$$. On demande de déterminer plusieurs mesures principales d'angles orientés entre des vecteurs donnés. 2. Rappel : La mesure principale d'un angle orienté est la mesure équivalente dans l'intervalle $$(-\pi,\pi]$$. 3. Calcul de $$\text{Mes principale}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CA})$$ : - D'abord, notez que $$\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$$. - Donc, $$\text{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CA}) = \text{mes}(-\overrightarrow{AB}, -\overrightarrow{AC})$$. - La mesure d'angle entre $$\overrightarrow{u}$$ et $$\overrightarrow{v}$$ ne change pas si on ajoute $$\pi$$ aux deux vecteurs, donc: $$\text{mes}(-\overrightarrow{AB}, -\overrightarrow{AC}) = \text{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$$. - Donc: $$\text{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CA}) = \frac{15\pi}{4}$$. - Réduisons cette mesure dans l'intervalle $$(-\pi,\pi]$$ : $$\frac{15\pi}{4} = 3\pi + \frac{3\pi}{4}$$. Soustrayons $$2\pi$$ pour revenir dans l'intervalle: $$\frac{15\pi}{4} - 2\pi = \frac{15\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$$. \(\frac{7\pi}{4} > \pi\), donc on soustrait encore $$2\pi$$: $$\frac{7\pi}{4} - 2\pi = \frac{7\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$$, qui est dans $$(-\pi,\pi]$$. Donc, $$\text{Mes principale}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CA}) = -\frac{\pi}{4}$$. 4. Calcul de $$\text{Mes principale}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})$$ : - On utilise la relation d'additivité des angles : $$\text{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = \text{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) + \text{mes}(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}) = \frac{15\pi}{4} + \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{15\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$$. - Calculons la somme : $$\frac{15\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{45\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{43\pi}{12}$$. - Réduisons $$\frac{43\pi}{12}$$ dans $$(-\pi,\pi]$$: $$\frac{43\pi}{12} - 3\pi = \frac{43\pi}{12} - \frac{36\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$$, qui est dans $$(-\pi,\pi]$$. Donc, $$\text{Mes principale}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = \frac{7\pi}{12}$$. 5. Calcul de $$\text{Mes principale}(6\overrightarrow{BA}, 5\overrightarrow{AC})$$ : - Les facteurs scalaires positifs ne changent pas la direction, donc: $$\text{mes}(6\overrightarrow{BA}, 5\overrightarrow{AC}) = \text{mes}(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{AC})$$. - Or, $$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$$. - Donc, $$\text{mes}(6\overrightarrow{BA}, 5\overrightarrow{AC}) = \text{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$$. - De même que précédemment, $$\text{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \text{mes}(\overrightarrow{AB}, -\overrightarrow{AC}) = \text{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CA}).$$ On a déjà trouvé $$\text{Mes principale}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CA}) = -\frac{\pi}{4}$$, donc $$\text{Mes principale}(6\overrightarrow{BA}, 5\overrightarrow{AC}) = -\frac{\pi}{4}$$. 6. Calcul de $$\text{Mes principale}\Big[(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})\Big]$$: - Remplaçons par les valeurs données : $$\frac{15\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{15\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{45\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = \frac{47\pi}{12}$$. - Réduisons dans $$(-\pi,\pi]$$: $$\frac{47\pi}{12} - 3\pi = \frac{47\pi}{12} - \frac{36\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$$, qui est dans $$(-\pi,\pi]$$. Donc, $$\text{Mes principale}\Big[(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})\Big] = \frac{11\pi}{12}$$. Résumé final : - $$\text{Mes principale}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CA}) = -\frac{\pi}{4}$$ - $$\text{Mes principale}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = \frac{7\pi}{12}$$ - $$\text{Mes principale}(6\overrightarrow{BA}, 5\overrightarrow{AC}) = -\frac{\pi}{4}$$ - $$\text{Mes principale}\Big[(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})\Big] = \frac{11\pi}{12}$$