1. Énoncé du problème : Nous avons les mesures d'angles orientés suivantes : - $\mathrm{mes}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-\pi$ - $\mathrm{mes}(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})=\frac{\pi}{5}$ Nous devons déterminer : - $\mathrm{mes}(-\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA})$ - $\mathrm{mes}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ - $\mathrm{mes}(6\overrightarrow{BA},5\overrightarrow{AC})$ - $\mathrm{mes}[(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})-(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})]$ 2. Calcul de $\mathrm{mes}(-\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA})$ : - Rappelons que $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$ - Donc $\mathrm{mes}(-\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}) = \mathrm{mes}(-\overrightarrow{AB}, -\overrightarrow{AC})$ - La mesure d'angle orienté est invariante par changement de signe global des vecteurs, donc $$\mathrm{mes}(-\overrightarrow{AB}, -\overrightarrow{AC}) = \mathrm{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = -\pi$$ 3. Calcul de $\mathrm{mes}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ : - On utilise la relation de composition des angles orientés : $$\mathrm{mes}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}) = \mathrm{mes}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) + \mathrm{mes}(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$$ - Remplaçons avec les valeurs données : $$-\pi + \frac{\pi}{5} = -\frac{5\pi}{5} + \frac{\pi}{5} = -\frac{4\pi}{5}$$ 4. Calcul de $\mathrm{mes}(6\overrightarrow{BA},5\overrightarrow{AC})$ : - Comme l'angle orienté ne dépend pas de la norme, on a : $$\mathrm{mes}(6\overrightarrow{BA},5\overrightarrow{AC}) = \mathrm{mes}(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC})$$ - Or $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$, donc: $$\mathrm{mes}(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC}) = \mathrm{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$$ - Puisque $\mathrm{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \mathrm{mes}(\overrightarrow{AB}, -\overrightarrow{AC})$ (on fait sortir le signe de l'angle orienté) et $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$: $$\mathrm{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \mathrm{mes}(\overrightarrow{AB}, -\overrightarrow{AC}) = -\mathrm{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = -(-\pi) = \pi$$ 5. Calcul de $\mathrm{mes}[(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})]$ : - On fait la différence des mesures : $$-\pi - \frac{\pi}{5} = -\frac{5\pi}{5} - \frac{\pi}{5} = -\frac{6\pi}{5}$$ - Comme la mesure principale de l'angle orienté est dans $(-\pi,\pi]$, on ramène $-\frac{6\pi}{5}$ à l'intervalle principal en ajoutant $2\pi$ : $$-\frac{6\pi}{5} + 2\pi = -\frac{6\pi}{5} + \frac{10\pi}{5} = \frac{4\pi}{5}$$ Réponses finales : - $\mathrm{mes}(-\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}) = -\pi$ - $\mathrm{mes}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}) = -\frac{4\pi}{5}$ - $\mathrm{mes}(6\overrightarrow{BA},5\overrightarrow{AC}) = \pi$ - $\mathrm{mes}[(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})] = \frac{4\pi}{5}$