1. **Énoncé du problème :** Dans le triangle $ABC$, on a $AB=26$, les médianes $AN$ et $BM$ se coupent en $O$ avec $\angle AOB = 120$ grades (soit $120^\circ$). On connaît $BM=24$ cm. Il faut déterminer la longueur de la médiane $AN$. 2. **Rappel des propriétés :** - Les médianes d'un triangle se coupent en un point appelé centre de gravité $O$. - Ce point divise chaque médiane en deux segments dans le rapport $2:1$, avec la partie la plus longue du sommet vers $O$. - Donc, $AO = \frac{2}{3}AN$ et $BO = \frac{2}{3}BM$. 3. **Données :** - $AB = 26$ - $BM = 24$ cm - $AO = \frac{2}{3}AN$ - $BO = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3} \times 24 = 16$ - $\angle AOB = 120^\circ$ 4. **Utilisation de la loi des cosinus dans le triangle $AOB$ :** On connaît $AB=26$, $AO$, $BO$ et l'angle entre $AO$ et $BO$. La loi des cosinus s'écrit : $$AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \times AO \times BO \times \cos(\angle AOB)$$ Substituons : $$26^2 = AO^2 + 16^2 - 2 \times AO \times 16 \times \cos(120^\circ)$$ Sachant que $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, on a : $$676 = AO^2 + 256 - 2 \times AO \times 16 \times \left(-\frac{1}{2}\right)$$ Simplifions : $$676 = AO^2 + 256 + 16 AO$$ 5. **Résolution de l'équation quadratique :** $$AO^2 + 16 AO + 256 - 676 = 0$$ $$AO^2 + 16 AO - 420 = 0$$ 6. **Calcul du discriminant :** $$\Delta = 16^2 - 4 \times 1 \times (-420) = 256 + 1680 = 1936$$ 7. **Solutions pour $AO$ :** $$AO = \frac{-16 \pm \sqrt{1936}}{2} = \frac{-16 \pm 44}{2}$$ - $AO_1 = \frac{-16 + 44}{2} = \frac{28}{2} = 14$ - $AO_2 = \frac{-16 - 44}{2} = \frac{-60}{2} = -30$ (impossible car longueur positive) Donc, $AO = 14$ cm. 8. **Calcul de $AN$ :** $$AN = \frac{3}{2} AO = \frac{3}{2} \times 14 = 21 \text{ cm}$$ **Réponse finale :** La longueur de la médiane $AN$ est $21$ cm.