**Énoncé du problème :** Calculer les longueurs $AC$ et $DE$ dans un rectangle $ABCD$ avec $AD=3$, $AB=5$, $E$ milieu de $[AB]$. 1. Calcul des longueurs $AC$ et $DE$ : - $AC$ est la diagonale du rectangle. Par le théorème de Pythagore : $$AC=\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$$ - $E$ est milieu de $[AB]$, donc $AE = \frac{AB}{2} = 2.5$ - $DE$ relie $D$ à $E$. Comme $D$ est adjacent à $A$ sur $AD$, et $E$ sur $AB$ on a : $DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{3^2 + 2.5^2} = \sqrt{9 + 6.25} = \sqrt{15.25}$ 2. Vecteurs : - $\overrightarrow{AB}$ de longueur 5, on choisit $\overrightarrow{AB} = \vec{i}$ - $\overrightarrow{AD}$ de longueur 3, choisissons $\overrightarrow{AD} = \vec{j}$ Ainsi : - $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \vec{i} + \vec{j}$ - $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} \vec{i}$ - $\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = -\vec{j} + \frac{1}{2} \vec{i}$ Produit scalaire : $$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DE} = (\vec{i} + \vec{j}) \cdot \left(-\vec{j} + \frac{1}{2} \vec{i}\right) = \vec{i} \cdot \left(-\vec{j} + \frac{1}{2} \vec{i}\right) + \vec{j} \cdot \left(-\vec{j} + \frac{1}{2} \vec{i}\right)$$ Calcul des termes : - $\vec{i} \cdot (-\vec{j}) = 0$ car orthogonaux - $\vec{i} \cdot \frac{1}{2} \vec{i} = \frac{1}{2} \cdot ||\vec{i}||^2 = \frac{1}{2} \cdot 25 = 12.5$ - $\vec{j} \cdot (-\vec{j}) = - ||\vec{j}||^2 = -9$ - $\vec{j} \cdot \frac{1}{2} \vec{i} = 0$ Donc : $$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DE} = 0 + 12.5 - 9 + 0 = 3.5$$ 3. Calcul de l'angle orienté $\theta = (DE; AC)$ : Formule : $$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DE}}{||\overrightarrow{AC}|| \, ||\overrightarrow{DE}||} = \frac{3.5}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{15.25}}$$ Calcul des normes : - $||\overrightarrow{AC}|| = \sqrt{34} \approx 5.83095$ - $||\overrightarrow{DE}|| = \sqrt{15.25} \approx 3.90512$ Valeur : $$\cos(\theta) = \frac{3.5}{5.83095 \times 3.90512} = \frac{3.5}{22.775} \approx 0.1537$$ Donc angle : $$\theta = \arccos(0.1537) \approx 81.14^\circ$$ **Réponses finales :** - $AC = \sqrt{34} \approx 5.83$ - $DE = \sqrt{15.25} \approx 3.91$ - $\theta \approx 81.14^\circ$