1. **Énoncé du problème :** Nous allons étudier la loi des sinus et la loi des cosinus, deux outils essentiels pour résoudre des triangles quelconques. 2. **Loi des sinus :** Elle relie les longueurs des côtés d'un triangle aux sinus de ses angles. La formule est : $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ Ici, $a$, $b$, $c$ sont les longueurs des côtés opposés aux angles $A$, $B$, $C$ respectivement. 3. **Explication simple :** Cette loi permet de trouver un côté ou un angle inconnu quand on connaît au moins un côté et un angle opposé, ou deux angles et un côté. 4. **Exemple avec la loi des sinus :** Supposons un triangle avec $A=30^\circ$, $B=45^\circ$, et $a=10$. Calculons $b$ : $$b = \frac{a \times \sin B}{\sin A} = \frac{10 \times \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \times 0.7071}{0.5} = 14.14$$ 5. **Loi des cosinus :** Elle est utile quand on connaît deux côtés et l'angle compris, ou les trois côtés. La formule est : $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$ 6. **Explication simple :** Cette loi généralise le théorème de Pythagore pour tous les triangles. 7. **Exemple avec la loi des cosinus :** Si $a=7$, $b=5$, et $C=60^\circ$, alors : $$c^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \times 7 \times 5 \times \cos 60^\circ = 49 + 25 - 70 \times 0.5 = 74 - 35 = 39$$ Donc, $$c = \sqrt{39} \approx 6.24$$ 8. **Résumé :** - Utilisez la loi des sinus quand vous avez un angle et son côté opposé. - Utilisez la loi des cosinus quand vous avez deux côtés et l'angle entre eux. 9. **Exercice corrigé :** Dans un triangle, $A=40^\circ$, $B=60^\circ$, $a=8$. Trouvez $b$. Solution : $$b = \frac{a \times \sin B}{\sin A} = \frac{8 \times \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{8 \times 0.8660}{0.6428} = 10.78$$ 10. **Conseil :** Toujours vérifier que la somme des angles est $180^\circ$ et utiliser la loi adaptée selon les données connues.