1. **Énoncé du problème** : On considère un triangle équilatéral ABC de centre O avec une isométrie f telle que f(A) = B, f(B) = C, f(C) = A. 2. **Montrer que f(O) = O** : - O est le centre du triangle équilatéral ABC, donc le point d'intersection des médianes. - Comme f permute les sommets A, B, C cycliquement, elle envoie les médianes sur elles-mêmes. - Par conséquent, f conserve le centre O, donc $f(O) = O$. 3. **Déduire que f est une rotation de centre O et d'angle $\frac{2\pi}{3}$** : - f est une isométrie qui fixe O. - f envoie A sur B, ce qui correspond à une rotation de $\frac{2\pi}{3}$ autour de O. - Ainsi, $f = R_{O, \frac{2\pi}{3}}$. 4. **Déterminer la droite $\Delta$ telle que $f = S_{\Delta} \circ S_{(AO)}$** : - Toute rotation peut s'écrire comme la composée de deux symétries orthogonales dont les axes forment un angle moitié de la rotation. - Ici, $f = S_{\Delta} \circ S_{(AO)}$ avec l'angle entre $(AO)$ et $\Delta$ égal à $\frac{\pi}{3}$. - Donc $\Delta$ est la droite passant par O formant un angle $\frac{\pi}{3}$ avec $(AO)$. 5. **Caractériser les isométries $g = S_{(AB)} \circ S_{(AO)}$ et $g \circ f^{-1}$** : - $g$ est la composée de deux symétries dont les axes $(AB)$ et $(AO)$ forment un angle $\theta$. - La composée de deux symétries est une rotation de centre O et d'angle $2\theta$ si les axes se coupent. - $g \circ f^{-1}$ est donc une isométrie composée de rotations et symétries, à analyser selon les angles. 6. **Montrer que le milieu de $[M_1 M_2]$ est un point fixe** : - Pour $M_1 = g(M)$ et $M_2 = g \circ f(M)$, le milieu $N$ de $[M_1 M_2]$ est $$N = \frac{g(M) + g(f(M))}{2} = g\left(\frac{M + f(M)}{2}\right)$$ - Comme $f$ est une rotation autour de O, $\frac{M + f(M)}{2}$ varie sur un cercle centré en O. - L'image par $g$ d'un point fixe ou d'un ensemble invariant est fixe. - Ainsi, le milieu $N$ est un point fixe précisable selon $g$ et $f$. 7. **Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M_1 M_2 = AB$** : - $M_1 M_2$ est la distance entre $g(M)$ et $g(f(M))$. - Comme $g$ est une isométrie, $M_1 M_2 = |M - f(M)|$. - $|M - f(M)| = AB$ définit un ensemble de points $M$ sur une courbe ou cercle spécifique. 8. **Montrer que pour une isométrie $\varphi$ avec $\varphi(A) = B$ et $\varphi(B) = C$, on a $\varphi(C) = A$ ou $\varphi(C) = D$** : - $\varphi$ est déterminée par ses images sur A et B. - Comme $f$ est la rotation cyclique, $\varphi(C)$ est soit $A$ (rotation), soit $D$ (autre isométrie). 9. **En déduire que $\varphi = f$ ou $\varphi = f_{\overrightarrow{AB}} \circ S_{(AC)}$** : - $\varphi$ est soit la rotation $f$, soit la composée d'une translation suivant $\overrightarrow{AB}$ et d'une symétrie par rapport à $(AC)$. 10. **Caractériser l'isométrie $S_{(IJ)} \circ S_{(AC)}$** : - La composée de deux symétries dont les axes sont parallèles est une translation. - Ici, $S_{(IJ)} \circ S_{(AC)}$ est une symétrie glissante (translation + symétrie). 11. **En déduire que $\overrightarrow{AB} \cdot S_{(AC)}$ est une symétrie glissante** : - La composition d'une translation selon $\overrightarrow{AB}$ et d'une symétrie par rapport à $(AC)$ est une symétrie glissante. **Réponse finale** : - $f$ est la rotation de centre O et d'angle $\frac{2\pi}{3}$. - $f = S_{\Delta} \circ S_{(AO)}$ avec $\Delta$ formant un angle $\frac{\pi}{3}$ avec $(AO)$. - $g$ est une rotation ou symétrie selon les axes. - Le milieu de $[M_1 M_2]$ est un point fixe déterminé par $g$ et $f$. - L'ensemble des points $M$ avec $M_1 M_2 = AB$ est un cercle ou courbe spécifique. - $\varphi$ est soit $f$, soit $f_{\overrightarrow{AB}} \circ S_{(AC)}$. - $S_{(IJ)} \circ S_{(AC)}$ est une symétrie glissante. - $\overrightarrow{AB} \cdot S_{(AC)}$ est une symétrie glissante.