1. **Énoncé du problème 21 :** On a un parallélogramme KMNL de centre O, non losange. P est le projeté orthogonal de N sur (KM), S est le symétrique de P par rapport à O. On veut savoir si les droites (KS) et (PN) sont parallèles. 2. **Formules et propriétés utiles :** - Le symétrique d'un point P par rapport à O est S tel que $$\overrightarrow{OS} = -\overrightarrow{OP}$$. - Le projeté orthogonal de N sur (KM) est le point P tel que $$\overrightarrow{NP} \perp \overrightarrow{KM}$$. - Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. 3. **Calculs intermédiaires :** - Calculer $$\overrightarrow{OP}$$ à partir de la projection de N sur (KM). - Trouver $$\overrightarrow{OS} = -\overrightarrow{OP}$$. - Déterminer les vecteurs directeurs : $$\overrightarrow{KS} = \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OK}$$ et $$\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{P}$$. 4. **Étude de la parallélisme :** - Vérifier si $$\overrightarrow{KS}$$ et $$\overrightarrow{PN}$$ sont colinéaires. - Si non colinéaires, alors (KS) et (PN) ne sont pas parallèles. 5. **Conclusion :** Le fils a raison, les droites (KS) et (PN) ne sont pas parallèles. --- 1. **Énoncé du problème 22 :** Trouver les points I sur [AB] et P sur [AC] pour minimiser la longueur du circuit OIPO dans le triangle ABC. 2. **Méthode :** - Utiliser la réflexion du point O par rapport à la droite (AC) pour trouver P. - Le chemin O-I-P-O est minimal si et seulement si I est l'intersection de (AB) avec la droite joignant O à l'image réfléchie de O par rapport à (AC). 3. **Programme de construction :** - Réfléchir O par rapport à (AC) pour obtenir O'. - Tracer la droite (O'O). - Trouver I = intersection de (O'O) avec (AB). - Trouver P = intersection de (AC) avec la droite joignant I à O. 4. **Justification :** Le chemin minimal correspond à un trajet en ligne droite dans le plan réfléchi, ce qui minimise la distance totale. --- 1. **Énoncé du problème 23 :** Youssouf veut traverser un fleuve avec courant de direction $$\vec{d}$$, ne pouvant nager que dans cette direction. Il veut minimiser la distance totale $$SA + AB + BO$$ où A et B sont sur les rives (D1) et (D2). 2. **Méthode :** - Reproduire la figure avec les rives parallèles. - Utiliser la réflexion du point O par rapport à la rive (D2) pour obtenir O'. - Trouver A sur (D1) et B sur (D2) tels que le chemin SA + AB + BO soit minimal. 3. **Construction :** - Tracer la droite (SO'). - A est l'intersection de (SO') avec (D1). - B est le projeté de A sur (D2) suivant la direction $$\vec{d}$$. 4. **Justification :** La réflexion permet de transformer le problème en une distance minimale en ligne droite dans un plan transformé, tenant compte de la contrainte de direction de nage. **Réponse finale :** Le fils a raison pour 21. Le programme de construction pour 22 est la réflexion de O par rapport à (AC) puis intersection. Pour 23, la réflexion de O par rapport à (D2) et projection suivant $$\vec{d}$$ donne A et B minimisant la distance.