1. **Énoncé du problème** : On a deux droites passant par le point O, avec les points O, P, S alignés et les points O, N, Q alignés. Les longueurs données sont : - $ON = 6$ - $NP = 8$ - $OP = 10$ - $NQ = 7$ On doit déterminer quelles droites sont sécantes en O parmi (QN) et (NP). 2. **Définition des droites sécantes** : Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un point unique. 3. **Analyse des droites** : - La droite (NP) passe par les points N et P. - La droite (QN) passe par les points Q et N. 4. **Position des points** : - O, P, S sont alignés. - O, N, Q sont alignés. Cela signifie que les droites (OP) et (ON) sont distinctes mais se croisent en O. 5. **Vérification des droites sécantes en O** : - La droite (NP) contient N et P, mais pas O (car O, P, S sont alignés, et N est sur une autre droite). - La droite (QN) contient Q et N, et O est sur la droite (ONQ), donc O n'est pas sur (QN). 6. **Conclusion** : - Les droites (NP) et (OP) ne sont pas sécantes en O car O n'appartient pas à (NP). - Les droites (QN) et (ON) sont alignées, donc (QN) passe par N et Q, mais pas par O. Donc, aucune des droites (QN) ou (NP) ne passe par O, sauf (OP) et (ON). **Réponse** : - (QN) : Non sécante en O - (NP) : Non sécante en O --- **Calcul de la longueur $QS$ (segment marqué en bleu)** : 7. **Données supplémentaires** : - Triangle ONP est rectangle en N. - Triangle NQP est rectangle en Q. 8. **Calcul de $QS$** : - Puisque O, P, S sont alignés, et S est sur la droite passant par P, on peut utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle NQP. 9. **Calcul de $PQ$** : - Dans le triangle NQP rectangle en Q, on a : $$NP^2 = NQ^2 + QP^2$$ $$8^2 = 7^2 + QP^2$$ $$64 = 49 + QP^2$$ $$QP^2 = 15$$ $$QP = \sqrt{15}$$ 10. **Calcul de $QS$** : - Puisque S est aligné avec O et P, et que $OP = 10$, on peut supposer que $QS = QP + PS$. - Or, $PS = OS - OP$, mais sans la valeur de $OS$, on ne peut pas calculer directement $QS$. 11. **Hypothèse** : - Si $S$ est tel que $QS = QP + PS$ et $PS = 0$ (S = P), alors $QS = QP = \sqrt{15}$. **Réponse finale** : $$QS = \sqrt{15} \approx 3.87$$