1. **Énoncé du problème** : Un agriculteur possède un terrain BCDEFG formé par deux carrés adjacents, l'un de côté $b$ (carré ABGF) et l'autre de côté $a$ (carré ACDE). L'aire totale du terrain est de 7200 m². 2. **Données et relations** : - Le terrain BCDEFG est composé des deux carrés ABGF (côté $b$) et ACDE (côté $a$). - L'aire totale est donc $a^2 + b^2 = 7200$. - L'agriculteur va du point $C$ au point $E$ en passant par $B$, $A$ et $F$. - La distance déjà parcourue jusqu'à $F$ est de 120 m. 3. **Objectif** : Trouver la distance restante à parcourir de $F$ à $E$. 4. **Analyse du chemin** : - Le chemin est $C \to B \to A \to F \to E$. - Les segments sont : - $C$ à $B$ : côté $a$ (vertical) - $B$ à $A$ : côté $b$ (horizontal) - $A$ à $F$ : côté $b$ (vertical) - $F$ à $E$ : segment à déterminer 5. **Calcul de la distance parcourue jusqu'à $F$** : - $C$ à $B$ = $a$ - $B$ à $A$ = $b$ - $A$ à $F$ = $b$ - Donc distance totale jusqu'à $F$ = $a + b + b = a + 2b$ 6. **On sait que cette distance est 120 m** : $$a + 2b = 120$$ 7. **Calcul de la distance restante $F$ à $E$** : - $F$ est un sommet du carré ABGF, et $E$ est un sommet du carré ACDE. - En coordonnées relatives, $F$ est à une distance $a$ horizontalement de $E$ (car $E$ est à droite de $F$ par la longueur $a$). - Donc la distance $F$ à $E$ est égale à $a$. 8. **Trouver $a$ en fonction de $b$** : - De l'aire totale : $$a^2 + b^2 = 7200$$ - De la distance parcourue : $$a = 120 - 2b$$ 9. **Substituer $a$ dans l'équation de l'aire** : $$ (120 - 2b)^2 + b^2 = 7200 $$ 10. **Développer et simplifier** : $$ (120)^2 - 2 \times 120 \times 2b + (2b)^2 + b^2 = 7200 $$ $$ 14400 - 480b + 4b^2 + b^2 = 7200 $$ $$ 14400 - 480b + 5b^2 = 7200 $$ 11. **Réarranger** : $$ 5b^2 - 480b + (14400 - 7200) = 0 $$ $$ 5b^2 - 480b + 7200 = 0 $$ 12. **Diviser par 5** : $$ b^2 - 96b + 1440 = 0 $$ 13. **Résoudre l'équation quadratique** : $$ \Delta = (-96)^2 - 4 \times 1 \times 1440 = 9216 - 5760 = 3456 $$ $$ b = \frac{96 \pm \sqrt{3456}}{2} $$ 14. **Calculer $\sqrt{3456}$** : $$ \sqrt{3456} = \sqrt{3456} = 58.78 \text{ (approx.)} $$ 15. **Solutions pour $b$** : $$ b_1 = \frac{96 + 58.78}{2} = 77.39 $$ $$ b_2 = \frac{96 - 58.78}{2} = 18.61 $$ 16. **Calculer $a$ pour chaque $b$** : - Pour $b_1 = 77.39$ : $$ a = 120 - 2 \times 77.39 = 120 - 154.78 = -34.78 $$ (impossible car longueur négative) - Pour $b_2 = 18.61$ : $$ a = 120 - 2 \times 18.61 = 120 - 37.22 = 82.78 $$ (valeur positive valide) 17. **Distance restante à parcourir $F$ à $E$** : $$ \boxed{82.78 \text{ mètres}} $$ **Réponse finale** : Il reste environ 82.78 mètres à parcourir pour aller de $F$ à $E$.