1. **Énoncé du problème** : Montrer qu'il existe un seul déplacement qui envoie $A$ en $O$ et $C$ en $B$. 2. **Formule et règles importantes** : Un déplacement dans le plan est une isométrie (translation, rotation, symétrie) qui conserve les distances. 3. **Travail intermédiaire** : - On cherche une isométrie $f$ telle que $f(A) = O$ et $f(C) = B$. - Considérons la translation $t$ qui envoie $A$ en $O$, donc $t(M) = M + ightarrow{AO}$. - Appliquons $t$ à $C$: $t(C) = C + ightarrow{AO}$. - Pour que $t(C) = B$, il faudrait que $B = C + ightarrow{AO}$, ce qui n'est pas vrai en général. - Donc $f$ n'est pas une simple translation. - Considérons une rotation $R$ de centre $I$ et d'angle $ heta$ telle que $R(A) = O$ et $R(C) = B$. - Puisque $R$ est une isométrie, il existe un unique centre $I$ et un angle $ heta$ qui réalisent cette rotation. 4. **Conclusion** : Il existe un seul déplacement $f$, une rotation, qui envoie $A$ en $O$ et $C$ en $B$. **Réponse finale** : Le déplacement $f$ est une rotation unique qui envoie $A$ en $O$ et $C$ en $B$.