1. **Énoncé du problème :** Nous avons un cube avec les sommets nommés comme suit : $A, B, C, D$ au bas et $E, F, G, H$ au sommet. Nous devons démontrer plusieurs propriétés géométriques concernant les droites et plans dans ce cube. 2. **Rappel des propriétés importantes :** - Dans un cube, toutes les arêtes sont de même longueur et les faces sont des carrés. - Les arêtes adjacentes sont orthogonales. - Deux droites sont orthogonales si leur produit scalaire est nul. - Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites non colinéaires du plan. - Deux plans sont perpendiculaires si une droite de l'un est orthogonale à une droite de l'autre. --- ### Problème 1 **1. Démontrer que les droites $(BD)$ et $(EG)$ sont orthogonales.** - Considérons un repère orthonormé avec $A$ à l'origine, $AB$ sur l'axe $x$, $AD$ sur l'axe $y$, et $AE$ sur l'axe $z$. - Supposons la longueur de l'arête du cube égale à $a$. - Coordonnées : - $B(a,0,0)$ - $D(0,a,0)$ - $E(0,0,a)$ - $G(a,a,a)$ - Vecteurs : - $\overrightarrow{BD} = D - B = (0 - a, a - 0, 0 - 0) = (-a, a, 0)$ - $\overrightarrow{EG} = G - E = (a - 0, a - 0, a - a) = (a, a, 0)$ - Produit scalaire : $$\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{EG} = (-a)(a) + (a)(a) + 0 \times 0 = -a^2 + a^2 + 0 = 0$$ - Comme le produit scalaire est nul, les droites $(BD)$ et $(EG)$ sont orthogonales. **2a. Démontrer que $(AH)$ est orthogonale au plan $(FCD)$.** - Coordonnées : - $A(0,0,0)$ - $H(0,a,a)$ - $F(a,0,a)$ - $C(a,a,0)$ - $D(0,a,0)$ - Vecteur $\overrightarrow{AH} = H - A = (0, a, a)$ - Deux vecteurs du plan $(FCD)$ : - $\overrightarrow{FC} = C - F = (a - a, a - 0, 0 - a) = (0, a, -a)$ - $\overrightarrow{FD} = D - F = (0 - a, a - 0, 0 - a) = (-a, a, -a)$ - Vérifions que $\overrightarrow{AH}$ est orthogonal à ces deux vecteurs : - $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{FC} = 0 \times 0 + a \times a + a \times (-a) = a^2 - a^2 = 0$ - $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{FD} = 0 \times (-a) + a \times a + a \times (-a) = a^2 - a^2 = 0$ - Donc, $(AH)$ est orthogonal au plan $(FCD)$. **2b. Démontrer que $(BH)$ est orthogonale au plan $(EGD)$.** - Coordonnées : - $B(a,0,0)$ - $H(0,a,a)$ - $E(0,0,a)$ - $G(a,a,a)$ - $D(0,a,0)$ - Vecteur $\overrightarrow{BH} = H - B = (0 - a, a - 0, a - 0) = (-a, a, a)$ - Deux vecteurs du plan $(EGD)$ : - $\overrightarrow{EG} = G - E = (a - 0, a - 0, a - a) = (a, a, 0)$ - $\overrightarrow{ED} = D - E = (0 - 0, a - 0, 0 - a) = (0, a, -a)$ - Vérifions que $\overrightarrow{BH}$ est orthogonal à ces deux vecteurs : - $\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{EG} = (-a)(a) + a(a) + a(0) = -a^2 + a^2 + 0 = 0$ - $\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{ED} = (-a)(0) + a(a) + a(-a) = 0 + a^2 - a^2 = 0$ - Donc, $(BH)$ est orthogonal au plan $(EGD)$. **3. Justifier que le quadrilatère $AHGB$ est un rectangle.** - Sommets : - $A(0,0,0)$ - $H(0,a,a)$ - $G(a,a,a)$ - $B(a,0,0)$ - Vecteurs des côtés : - $\overrightarrow{AH} = (0, a, a)$ - $\overrightarrow{HG} = G - H = (a - 0, a - a, a - a) = (a, 0, 0)$ - $\overrightarrow{GB} = B - G = (a - a, 0 - a, 0 - a) = (0, -a, -a)$ - $\overrightarrow{BA} = A - B = (0 - a, 0 - 0, 0 - 0) = (-a, 0, 0)$ - Vérifions les angles droits : - $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{HG} = 0 \times a + a \times 0 + a \times 0 = 0$ - $\overrightarrow{HG} \cdot \overrightarrow{GB} = a \times 0 + 0 \times (-a) + 0 \times (-a) = 0$ - $\overrightarrow{GB} \cdot \overrightarrow{BA} = 0 \times (-a) + (-a) \times 0 + (-a) \times 0 = 0$ - $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AH} = (-a) \times 0 + 0 \times a + 0 \times a = 0$ - Tous les angles sont droits, donc $AHGB$ est un rectangle. **4. Démontrer que les plans $(BCH)$ et $(ADG)$ sont perpendiculaires.** - Plan $(BCH)$ : points $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $H(0,a,a)$ - Vecteurs du plan $(BCH)$ : - $\overrightarrow{BC} = C - B = (0, a, 0)$ - $\overrightarrow{BH} = H - B = (-a, a, a)$ - Vecteur normal au plan $(BCH)$ : $$\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BH} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ -a & a & a \end{vmatrix} = (a^2, 0, a^2)$$ - Plan $(ADG)$ : points $A(0,0,0)$, $D(0,a,0)$, $G(a,a,a)$ - Vecteurs du plan $(ADG)$ : - $\overrightarrow{AD} = D - A = (0, a, 0)$ - $\overrightarrow{AG} = G - A = (a, a, a)$ - Vecteur normal au plan $(ADG)$ : $$\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AG} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ a & a & a \end{vmatrix} = (a^2, 0, -a^2)$$ - Produit scalaire des normales : $$\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = a^2 \times a^2 + 0 \times 0 + a^2 \times (-a^2) = a^4 - a^4 = 0$$ - Comme le produit scalaire des vecteurs normaux est nul, les plans $(BCH)$ et $(ADG)$ sont perpendiculaires. --- **Réponses finales :** - Les droites $(BD)$ et $(EG)$ sont orthogonales. - Les droites $(AH)$ et $(BH)$ sont orthogonales respectivement aux plans $(FCD)$ et $(EGD)$. - Le quadrilatère $AHGB$ est un rectangle. - Les plans $(BCH)$ et $(ADG)$ sont perpendiculaires.