1. Énoncé du problème : Trouver les coordonnées du point R (probablement un point d'intersection ou un point particulier) puis calculer le périmètre du quadrilatère ABCD. Données : - Équation du segment AB : $y = \frac{1}{2}x + 72$ - Le segment CD est perpendiculaire à AB. - La pente du segment BC est $\frac{1}{3}$. - Les coordonnées du point C sont $(60, 12)$. 2. Trouver la pente de AB : L'équation est $y = \frac{1}{2}x + 72$, donc la pente $m_{AB} = \frac{1}{2}$. 3. Puisque CD est perpendiculaire à AB, la pente de CD est l'opposée de l'inverse de $m_{AB}$ : $$m_{CD} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$$ 4. Trouver les coordonnées de B : On sait que la pente de BC est $\frac{1}{3}$ et que C est $(60, 12)$. Soit B $(x_B, y_B)$, alors : $$m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{12 - y_B}{60 - x_B} = \frac{1}{3}$$ 5. Trouver les coordonnées de A : Le segment AB a pour équation $y = \frac{1}{2}x + 72$. Donc, pour un point B $(x_B, y_B)$ sur AB, on a : $$y_B = \frac{1}{2}x_B + 72$$ 6. Résoudre le système pour B : De l'équation de BC : $$12 - y_B = \frac{1}{3}(60 - x_B)$$ Substituer $y_B$ : $$12 - \left(\frac{1}{2}x_B + 72\right) = \frac{1}{3}(60 - x_B)$$ Simplifier : $$12 - \frac{1}{2}x_B - 72 = 20 - \frac{1}{3}x_B$$ $$-60 - \frac{1}{2}x_B = 20 - \frac{1}{3}x_B$$ Regrouper les termes : $$-60 - 20 = - \frac{1}{3}x_B + \frac{1}{2}x_B$$ $$-80 = \frac{1}{6}x_B$$ Donc : $$x_B = -80 \times 6 = -480$$ 7. Calculer $y_B$ : $$y_B = \frac{1}{2}(-480) + 72 = -240 + 72 = -168$$ Donc, $B = (-480, -168)$. 8. Trouver les coordonnées de D : Le segment CD a pour pente $m_{CD} = -2$ et passe par $C(60, 12)$. Soit $D = (x_D, y_D)$, alors : $$m_{CD} = \frac{y_D - 12}{x_D - 60} = -2$$ 9. Trouver le point R : Le problème ne précise pas clairement ce qu'est R, supposons que R est le point d'intersection des diagonales AC et BD. 10. Trouver A : On ne connaît pas A, mais on peut supposer que A est un point sur AB, par exemple, prenons $x_A = 0$ pour trouver A : $$y_A = \frac{1}{2} \times 0 + 72 = 72$$ Donc $A = (0, 72)$. 11. Équation de la diagonale AC : Points A$(0,72)$ et C$(60,12)$. Pente : $$m_{AC} = \frac{12 - 72}{60 - 0} = \frac{-60}{60} = -1$$ Équation : $$y - 72 = -1(x - 0) \Rightarrow y = -x + 72$$ 12. Équation de la diagonale BD : Points B$(-480, -168)$ et D$(x_D, y_D)$ avec $y_D = -2(x_D - 60) + 12 = -2x_D + 120 + 12 = -2x_D + 132$ L'équation de BD est : $$y - (-168) = m_{BD}(x - (-480))$$ Mais on ne connaît pas $m_{BD}$ ni $x_D$, donc on doit choisir $x_D$ pour trouver D. 13. Choisissons $x_D = 0$ pour simplifier : $$y_D = -2(0 - 60) + 12 = -2(-60) + 12 = 120 + 12 = 132$$ Donc $D = (0, 132)$. 14. Équation de BD avec B$(-480, -168)$ et D$(0, 132)$ : Pente : $$m_{BD} = \frac{132 - (-168)}{0 - (-480)} = \frac{300}{480} = \frac{5}{8}$$ Équation : $$y + 168 = \frac{5}{8}(x + 480)$$ $$y = \frac{5}{8}x + 300 - 168 = \frac{5}{8}x + 132$$ 15. Trouver R, intersection de AC et BD : Résoudre : $$-x + 72 = \frac{5}{8}x + 132$$ $$-x - \frac{5}{8}x = 132 - 72$$ $$-\frac{13}{8}x = 60$$ $$x = -\frac{60 \times 8}{13} = -\frac{480}{13} \approx -36.92$$ Calculer $y$ : $$y = -x + 72 = -(-36.92) + 72 = 36.92 + 72 = 108.92$$ Donc $R \approx (-36.92, 108.92)$. 16. Calcul du périmètre de ABCD : Calculer les distances entre les points : - $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-480 - 0)^2 + (-168 - 72)^2} = \sqrt{230400 + 57600} = \sqrt{288000} \approx 536.66$ - $BC = \sqrt{(60 - (-480))^2 + (12 - (-168))^2} = \sqrt{540^2 + 180^2} = \sqrt{291600 + 32400} = \sqrt{324000} \approx 569.21$ - $CD = \sqrt{(0 - 60)^2 + (132 - 12)^2} = \sqrt{(-60)^2 + 120^2} = \sqrt{3600 + 14400} = \sqrt{18000} \approx 134.16$ - $DA = \sqrt{(0 - 0)^2 + (132 - 72)^2} = \sqrt{0 + 60^2} = 60$ Périmètre : $$P = AB + BC + CD + DA \approx 536.66 + 569.21 + 134.16 + 60 = 1300.03$$ Réponse finale : - Coordonnées de $R \approx (-36.92, 108.92)$ - Périmètre de $ABCD \approx 1300.03$ unités.