1. **Énoncé du problème :** Considérons un mobile qui se déplace indéfiniment selon un trajet en forme de carrés imbriqués, commençant au point $(0,0)$. 2. **Compréhension du trajet :** Le mobile suit un chemin en boucle, chaque boucle formant un carré plus petit imbriqué dans le précédent, avec des longueurs de côtés données par une suite de fractions et nombres. 3. **But :** Trouver les coordonnées théoriques du point d'arrivée du mobile après un nombre infini de boucles. 4. **Analyse mathématique :** Le mobile effectue un déplacement en boucle, chaque boucle étant un carré dont les côtés diminuent selon une suite géométrique. 5. **Hypothèse :** Le déplacement total est la somme vectorielle des déplacements sur chaque segment de chaque carré imbriqué. 6. **Calcul des déplacements :** Chaque carré a 4 côtés, et le mobile se déplace dans le sens horaire. 7. **Déplacements successifs :** - Premier carré (côté $6$) : - droite : $(6,0)$ - haut : $(0,6)$ - gauche : $(-6,0)$ - bas : $(0,-6)$ Le déplacement total de ce carré est donc nul. 8. **Effet des carrés imbriqués :** Chaque carré suivant a un côté plus petit, multiplié par un facteur constant $r$ (à déterminer). 9. **Calcul du facteur de réduction $r$ :** Par exemple, $\frac{27}{8} \div 6 = \frac{27}{8} \times \frac{1}{6} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} = 0.5625$. 10. **Suite géométrique :** Chaque côté est multiplié par $r=\frac{9}{16}$ à chaque itération. 11. **Déplacements vectoriels cumulés :** Le déplacement total est la somme des vecteurs de chaque segment, qui forment une série géométrique vectorielle. 12. **Calcul des coordonnées finales :** Le mobile revient à son point de départ après chaque carré complet, mais les déplacements partiels s'additionnent. 13. **Formule de la somme d'une série géométrique vectorielle :** $$ S = \frac{a}{1 - r} $$ avec $a$ le premier terme et $r$ le rapport. 14. **Application :** Le déplacement total horizontal est la somme des déplacements horizontaux des segments droits et gauches, et vertical la somme des déplacements verticaux des segments hauts et bas. 15. **Conclusion :** Le mobile revient finalement au point $(0,0)$ car la somme des déplacements horizontaux et verticaux est nulle (chaque boucle est un carré fermé). **Réponse finale :** $$ (x,y) = (0,0) $$