1. **Énoncé du problème :** Calculer les longueurs $ID$, $IE$, puis en déduire $IB$ dans le parallélogramme $ABCD$ avec les données suivantes : $AD=6$, $DE=2$, $BF=8$, $EF=9$, et $BD=9$. Les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont parallèles. 2. **Rappel des propriétés importantes :** - Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. - Si deux droites sont parallèles, les segments interceptés par des droites transversales sont proportionnels (Théorème de Thalès). 3. **Calcul de $ID$ et $IE$ :** - Puisque $(EF) \parallel (BC)$, et $I$ est l'intersection de $(BD)$ avec $(EF)$, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles formés. - Considérons le triangle $BDE$ avec la droite parallèle $(EF)$ coupant $BD$ en $I$. 4. **Application du théorème de Thalès :** $$\frac{BI}{ID} = \frac{BF}{FE}$$ - On connaît $BF=8$ et $EF=9$. 5. **Calcul de $ID$ :** - La diagonale $BD=9$, donc $BI + ID = 9$. - Posons $BI = x$, alors $ID = 9 - x$. - D'après Thalès : $$\frac{x}{9 - x} = \frac{8}{9}$$ - Résolvons : $$9x = 8(9 - x)$$ $$9x = 72 - 8x$$ $$9x + 8x = 72$$ $$17x = 72$$ $$x = \frac{72}{17}$$ - Donc : $$BI = \frac{72}{17} \approx 4.24$$ $$ID = 9 - \frac{72}{17} = \frac{153 - 72}{17} = \frac{81}{17} \approx 4.76$$ 6. **Calcul de $IE$ :** - Dans le triangle $DEC$, $I$ est sur $EF$ et $E$ sur $DC$. - Sachant $DE=2$ et $AD=6$, on peut utiliser la proportionnalité pour trouver $IE$. - Par Thalès, dans le triangle $DEC$ avec $(EF) \parallel (BC)$ : $$\frac{IE}{DE} = \frac{BF}{AB}$$ - $AB$ est la base du parallélogramme, $AB = BF + FA = 8 + (AB - BF)$ mais $FA$ n'est pas donné, on suppose $AB=BF+FA$. - Sans la longueur $AB$ exacte, on peut estimer $IE$ proportionnellement à $DE$ et $EF$. - Puisque $EF=9$ et $BF=8$, on peut approximer $IE$ par la même proportion que $ID$. 7. **Conclusion :** - $ID = \frac{81}{17} \approx 4.76$ - $BI = \frac{72}{17} \approx 4.24$ - $IE$ nécessite plus d'informations pour un calcul exact, mais est proportionnel à $DE$ et $EF$. **Réponse finale :** $$ID = \frac{81}{17},\quad BI = \frac{72}{17}$$