1. **Énoncé du problème :** On a un grand triangle $AFG$ avec un petit triangle $MNF$ à l'intérieur, où $MN$ est parallèle à $FG$. Les longueurs données sont : $MN=3$, $FN=8$, $MG=4$, $AF=7$. On doit calculer la longueur $AG$. 2. **Propriété utilisée :** Quand une droite est parallèle à un côté d'un triangle, elle forme un triangle semblable avec les côtés proportionnels. Ici, $MN \parallel FG$ implique que les triangles $AMN$ et $AFG$ sont semblables. 3. **Application des rapports de proportionnalité :** On sait que : $$\frac{AM}{AF} = \frac{AN}{AG} = \frac{MN}{FG}$$ 4. **Calcul des longueurs manquantes :** On connaît $AF=7$, $MN=3$, et on doit trouver $AG$. On remarque que $FN=8$ et $MG=4$ sont des segments sur $FG$. Donc, $FG = FN + MG = 8 + 4 = 12$. 5. **Calcul du rapport :** $$\frac{MN}{FG} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$ 6. **Calcul de $AG$ :** On utilise la proportion : $$\frac{AN}{AG} = \frac{1}{4}$$ Mais $AN$ est la partie de $AG$ entre $A$ et $N$. On sait que $N$ est sur $AG$, donc $AN$ est une partie de $AG$. 7. **Relation entre $AN$ et $AG$ :** Puisque $\frac{AN}{AG} = \frac{1}{4}$, alors $$AN = \frac{1}{4} AG$$ 8. **Relation entre $AF$ et $AM$ :** De même, $$\frac{AM}{AF} = \frac{1}{4}$$ donc $$AM = \frac{1}{4} \times 7 = 1.75$$ 9. **Conclusion :** La longueur $AG$ est donc telle que $AN = \frac{1}{4} AG$. Mais on ne connaît pas $AN$ directement, cependant, puisque $N$ est sur $AG$ et $M$ sur $AF$, et $MN$ parallèle à $FG$, la proportion s'applique aussi pour $AG$. Ainsi, la longueur $AG$ est : $$AG = 4 \times AN$$ Mais sans valeur directe de $AN$, on peut utiliser la somme des segments sur $FG$ pour confirmer que $AG = 4 \times AN$. Donc, la longueur $AG$ est $4$ fois la longueur $AN$. **En résumé, la longueur $AG$ est égale à $4$ fois la longueur $AN$, et avec les données fournies, on conclut que $AG = 4 \times AN$.**