1. **Énoncé du problème :** Soient ABC un triangle et G le barycentre des points pondérés (A;-1), (B;-4), (C;3). On définit I comme barycentre des points pondérés (B;-4) et (C;3), et K comme barycentre des points pondérés (B;-4) et (A;-1). 2. **Formules et règles importantes :** Le barycentre $G = \bar{(A;a),(B;b),(C;c)}$ est donné par $$\vec{OG} = \frac{a\vec{OA} + b\vec{OB} + c\vec{OC}}{a+b+c}$$ avec $a+b+c \neq 0$. 3. **Construction des points I, K et G :** - Pour $I = \bar{(B;-4),(C;3)}$, on a $$\vec{OI} = \frac{-4\vec{OB} + 3\vec{OC}}{-4+3} = \frac{-4\vec{OB} + 3\vec{OC}}{-1} = 4\vec{OB} - 3\vec{OC}$$ - Pour $K = \bar{(B;-4),(A;-1)}$, on a $$\vec{OK} = \frac{-4\vec{OB} - 1\vec{OA}}{-4 -1} = \frac{-4\vec{OB} - \vec{OA}}{-5} = \frac{4}{5}\vec{OB} + \frac{1}{5}\vec{OA}$$ - Pour $G = \bar{(A;-1),(B;-4),(C;3)}$, on a $$\vec{OG} = \frac{-1\vec{OA} -4\vec{OB} + 3\vec{OC}}{-1 -4 + 3} = \frac{-\vec{OA} -4\vec{OB} + 3\vec{OC}}{-2} = \frac{1}{2}\vec{OA} + 2\vec{OB} - \frac{3}{2}\vec{OC}$$ 4. **Montrer que G est le milieu du segment [A I] :** Calculons $\vec{AI} = \vec{OI} - \vec{OA} = (4\vec{OB} - 3\vec{OC}) - \vec{OA} = -\vec{OA} + 4\vec{OB} - 3\vec{OC}$. Calculons $\vec{AG} = \vec{OG} - \vec{OA} = \left(\frac{1}{2}\vec{OA} + 2\vec{OB} - \frac{3}{2}\vec{OC}\right) - \vec{OA} = -\frac{1}{2}\vec{OA} + 2\vec{OB} - \frac{3}{2}\vec{OC}$. On remarque que $$\vec{AG} = \frac{1}{2} \vec{AI}$$ car $$\frac{1}{2}(-\vec{OA} + 4\vec{OB} - 3\vec{OC}) = -\frac{1}{2}\vec{OA} + 2\vec{OB} - \frac{3}{2}\vec{OC}$$ Donc, $G$ est le milieu de $[A I]$. 5. **Montrer que :** $$\vec{CG} = \frac{1}{2}\vec{CA} + 2\vec{CB}$$ $$\vec{CK} = \frac{1}{5}\vec{CA} + \frac{4}{5}\vec{CB}$$ Calculons $\vec{CG} = \vec{OG} - \vec{OC} = \left(\frac{1}{2}\vec{OA} + 2\vec{OB} - \frac{3}{2}\vec{OC}\right) - \vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{OA} + 2\vec{OB} - \frac{5}{2}\vec{OC}$. Or, $$\vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC}, \quad \vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC}$$ Donc, $$\frac{1}{2}\vec{CA} + 2\vec{CB} = \frac{1}{2}(\vec{OA} - \vec{OC}) + 2(\vec{OB} - \vec{OC}) = \frac{1}{2}\vec{OA} - \frac{1}{2}\vec{OC} + 2\vec{OB} - 2\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{OA} + 2\vec{OB} - \frac{5}{2}\vec{OC}$$ Donc $\vec{CG} = \frac{1}{2}\vec{CA} + 2\vec{CB}$. De même pour $\vec{CK}$, $$\vec{CK} = \vec{OK} - \vec{OC} = \left(\frac{4}{5}\vec{OB} + \frac{1}{5}\vec{OA}\right) - \vec{OC} = \frac{1}{5}\vec{OA} + \frac{4}{5}\vec{OB} - \vec{OC}$$ Or, $$\frac{1}{5}\vec{CA} + \frac{4}{5}\vec{CB} = \frac{1}{5}(\vec{OA} - \vec{OC}) + \frac{4}{5}(\vec{OB} - \vec{OC}) = \frac{1}{5}\vec{OA} - \frac{1}{5}\vec{OC} + \frac{4}{5}\vec{OB} - \frac{4}{5}\vec{OC} = \frac{1}{5}\vec{OA} + \frac{4}{5}\vec{OB} - \vec{OC}$$ Donc $\vec{CK} = \frac{1}{5}\vec{CA} + \frac{4}{5}\vec{CB}$. 6. **Déduire que les points C, K et G sont alignés :** Les vecteurs $\vec{CG}$ et $\vec{CK}$ sont colinéaires si l'un est un multiple scalaire de l'autre. On a $$\vec{CG} = \frac{1}{2}\vec{CA} + 2\vec{CB} = \frac{1}{2}\vec{CA} + \frac{4}{2}\vec{CB}$$ $$\vec{CK} = \frac{1}{5}\vec{CA} + \frac{4}{5}\vec{CB}$$ On remarque que $$\vec{CG} = 5 \times \vec{CK}$$ car $$5 \times \vec{CK} = 5 \times \left(\frac{1}{5}\vec{CA} + \frac{4}{5}\vec{CB}\right) = \vec{CA} + 4\vec{CB}$$ mais $\vec{CG} = \frac{1}{2}\vec{CA} + 2\vec{CB}$, donc pas exactement 5 fois. Vérifions le rapport entre coefficients : $$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}} = \frac{1/2}{1/5} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{1} = \frac{5}{2} = 2.5$$ $$\frac{2}{\frac{4}{5}} = 2 \times \frac{5}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$$ Les deux rapports sont égaux, donc $$\vec{CG} = 2.5 \times \vec{CK}$$ Donc $C, K, G$ sont alignés. 7. **Conclusion :** Le barycentre $G$ est le milieu de $[A I]$ et les points $C, K, G$ sont alignés.