1. **Énoncé du problème :** Soit un triangle ABC dans le plan et un point G vérifiant l'équation vectorielle : $$2\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{GB}.$$ Montrer que G est le barycentre des points pondérés $(A; 2)$, $(B; -1)$ et $(C; 3)$. 2. **Rappel sur le barycentre :** Le barycentre $G$ des points pondérés $(A; \alpha)$, $(B; \beta)$, $(C; \gamma)$ est défini par : $$\alpha + \beta + \gamma \neq 0$$ $$\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} + \gamma \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$ Cela signifie que le vecteur nul est la combinaison pondérée des vecteurs de $G$ vers les points. 3. **Travail intermédiaire :** Partons de l'équation donnée : $$2\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{GB}$$ Soustrayons $\overrightarrow{GB}$ des deux côtés : $$2\overrightarrow{GB} - \overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{AB}$$ $$\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{AB}$$ Or, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$, donc : $$\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC} = 2(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A})$$ En coordonnées de vecteurs depuis $G$ : $$\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{G}$$ $$\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{G}$$ Substituons : $$(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{G}) + 3(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{G}) = 2(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A})$$ $$\overrightarrow{B} - \overrightarrow{G} + 3\overrightarrow{C} - 3\overrightarrow{G} = 2\overrightarrow{B} - 2\overrightarrow{A}$$ $$\overrightarrow{B} + 3\overrightarrow{C} - 4\overrightarrow{G} = 2\overrightarrow{B} - 2\overrightarrow{A}$$ Réarrangeons : $$-4\overrightarrow{G} = 2\overrightarrow{B} - 2\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} - 3\overrightarrow{C}$$ $$-4\overrightarrow{G} = (2\overrightarrow{B} - \overrightarrow{B}) - 2\overrightarrow{A} - 3\overrightarrow{C}$$ $$-4\overrightarrow{G} = \overrightarrow{B} - 2\overrightarrow{A} - 3\overrightarrow{C}$$ Multiplions par $-1$ : $$4\overrightarrow{G} = 2\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} + 3\overrightarrow{C}$$ Divisons par 4 : $$\overrightarrow{G} = \frac{2}{4}\overrightarrow{A} - \frac{1}{4}\overrightarrow{B} + \frac{3}{4}\overrightarrow{C}$$ 4. **Interprétation :** Cela montre que $G$ est le barycentre des points $A$, $B$, $C$ avec les coefficients $2$, $-1$, $3$ respectivement, car : $$2 + (-1) + 3 = 4 \neq 0$$ 5. **Conclusion :** Le point $G$ est bien le barycentre des points pondérés $(A; 2)$, $(B; -1)$, $(C; 3)$. **Réponse finale :** $$\boxed{G = \text{barycentre de } (A; 2), (B; -1), (C; 3)}$$