1. Énoncé du problème : Soit ABCD un carré de centre O, et $G = \text{bar}\{(A;1),(B;2),(C;3),(D;6)\}$. Construire les points $I$ et $J$ tels que $I = \text{bar}\{(A;1),(C;3)\}$ et $J = \text{bar}\{(B;2),(D;6)\}$. Montrer que $G = \text{bar}\{(I;1),(J;2)\}$. 2. Rappel de la définition du barycentre : Le barycentre de points pondérés est donné par la formule $$\overrightarrow{OG} = \frac{\sum m_i \overrightarrow{OP_i}}{\sum m_i}$$ où $m_i$ sont les poids et $P_i$ les points. 3. Construction de $I$ : $$\overrightarrow{OI} = \frac{1 \overrightarrow{OA} + 3 \overrightarrow{OC}}{1+3} = \frac{\overrightarrow{OA} + 3 \overrightarrow{OC}}{4}$$ 4. Construction de $J$ : $$\overrightarrow{OJ} = \frac{2 \overrightarrow{OB} + 6 \overrightarrow{OD}}{2+6} = \frac{2 \overrightarrow{OB} + 6 \overrightarrow{OD}}{8} = \frac{\overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OD}}{4}$$ 5. Montrons que $G = \text{bar}\{(I;1),(J;2)\}$ : Calculons $\overrightarrow{OG}$ par définition : $$\overrightarrow{OG} = \frac{1 \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC} + 6 \overrightarrow{OD}}{1+2+3+6} = \frac{1 \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC} + 6 \overrightarrow{OD}}{12}$$ Calculons $\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{OJ}$ pondérés : $$1 \times \overrightarrow{OI} + 2 \times \overrightarrow{OJ} = 1 \times \frac{\overrightarrow{OA} + 3 \overrightarrow{OC}}{4} + 2 \times \frac{\overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OD}}{4} = \frac{\overrightarrow{OA} + 3 \overrightarrow{OC} + 2 \overrightarrow{OB} + 6 \overrightarrow{OD}}{4}$$ Le poids total est $1 + 2 = 3$, donc le barycentre est : $$\overrightarrow{OG'} = \frac{\overrightarrow{OA} + 3 \overrightarrow{OC} + 2 \overrightarrow{OB} + 6 \overrightarrow{OD}}{4 \times 3} = \frac{1 \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC} + 6 \overrightarrow{OD}}{12}$$ On retrouve donc $\overrightarrow{OG'} = \overrightarrow{OG}$, ce qui prouve que $G = \text{bar}\{(I;1),(J;2)\}$. 6. Construction du point $G$ : On place $G$ en utilisant la formule barycentrique avec les coordonnées de $I$ et $J$ et leurs poids respectifs. Réponse finale : $$G = \text{bar}\{(I;1),(J;2)\}$$ Ceci conclut la résolution complète de la première question de l'exercice 1.