1. **Énoncé du problème :** Montrer que le point $K$ vérifie la relation vectorielle $\overrightarrow{KA} + 3\overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}$ et en déduire que $K$ est le barycentre des points pondérés $(B;3)$ et $(I;2)$, où $I$ est le milieu de $[AC]$. 2. **Rappel de la définition du barycentre :** Le barycentre de points pondérés $(M_i; \lambda_i)$ est le point $G$ tel que $\sum \lambda_i \overrightarrow{GM_i} = \overrightarrow{0}$ avec $\sum \lambda_i \neq 0$. 3. **Exprimer $\overrightarrow{KA}$, $\overrightarrow{KB}$, $\overrightarrow{KC}$ en fonction de $\overrightarrow{KI}$ et $\overrightarrow{KB}$ :** - Comme $I$ est le milieu de $[AC]$, on a $\overrightarrow{KI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KC})$ donc $\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KC} = 2\overrightarrow{KI}$. 4. **Substituer dans l'équation donnée :** $$\overrightarrow{KA} + 3\overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} = (\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KC}) + 3\overrightarrow{KB} = 2\overrightarrow{KI} + 3\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}$$ 5. **Réarranger pour obtenir la condition barycentrique :** $$2\overrightarrow{KI} + 3\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0} \iff 2\overrightarrow{KI} = -3\overrightarrow{KB} \iff 2(\overrightarrow{K} - \overrightarrow{I}) = -3(\overrightarrow{K} - \overrightarrow{B})$$ 6. **Développer :** $$2\overrightarrow{K} - 2\overrightarrow{I} = -3\overrightarrow{K} + 3\overrightarrow{B}$$ $$2\overrightarrow{K} + 3\overrightarrow{K} = 2\overrightarrow{I} + 3\overrightarrow{B}$$ $$5\overrightarrow{K} = 2\overrightarrow{I} + 3\overrightarrow{B}$$ 7. **Isoler $\overrightarrow{K}$ :** $$\overrightarrow{K} = \frac{2}{5} \overrightarrow{I} + \frac{3}{5} \overrightarrow{B}$$ 8. **Conclusion :** Le point $K$ est le barycentre des points $I$ et $B$ avec les poids respectifs $2$ et $3$. **Réponse finale :** $K$ est le barycentre des points pondérés $(B;3)$ et $(I;2)$.