1. **Énoncé du problème :** Montrer que les droites (EC) et (BK) se coupent en G, barycentre des points pondérés (A,1), (B,2), (C,3). 2. **Formule du barycentre :** Pour des points pondérés $(P_i, m_i)$, le barycentre $G$ est donné par $$\vec{G} = \frac{\sum_{i=1}^n m_i \vec{P_i}}{\sum_{i=1}^n m_i}$$ 3. **Calculs des barycentres intermédiaires :** - $\vec{E} = \frac{\vec{A} + 2\vec{B}}{3}$ - $\vec{K} = \frac{\vec{A} + 3\vec{C}}{4}$ - $\vec{G} = \frac{\vec{A} + 2\vec{B} + 3\vec{C}}{6}$ 4. **Vérification que $\vec{G}$ appartient à la droite (EC) :** Cherchons $t$ tel que $$\vec{G} = (1 - t) \vec{E} + t \vec{C}$$ Substituons : $$(1 - t) \frac{\vec{A} + 2\vec{B}}{3} + t \vec{C} = \frac{\vec{A} + 2\vec{B} + 3\vec{C}}{6}$$ Multiplions par 6 : $$2(1 - t)(\vec{A} + 2\vec{B}) + 6t \vec{C} = \vec{A} + 2\vec{B} + 3\vec{C}$$ Développons : $$2(1 - t)\vec{A} + 4(1 - t)\vec{B} + 6t \vec{C} = \vec{A} + 2\vec{B} + 3\vec{C}$$ Égalisons les coefficients : - Pour $\vec{A}$ : $2(1 - t) = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$ - Pour $\vec{B}$ : $4(1 - t) = 2 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$ - Pour $\vec{C}$ : $6t = 3 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$ Tous les coefficients donnent $t = \frac{1}{2}$, donc $\vec{G}$ est bien sur (EC). 5. **Vérification que $\vec{G}$ appartient à la droite (BK) :** Cherchons $s$ tel que $$\vec{G} = (1 - s) \vec{B} + s \vec{K}$$ Substituons : $$(1 - s) \vec{B} + s \frac{\vec{A} + 3\vec{C}}{4} = \frac{\vec{A} + 2\vec{B} + 3\vec{C}}{6}$$ Multiplions par 12 : $$12(1 - s) \vec{B} + 3s (\vec{A} + 3\vec{C}) = 2(\vec{A} + 2\vec{B} + 3\vec{C})$$ Développons : $$12(1 - s) \vec{B} + 3s \vec{A} + 9s \vec{C} = 2 \vec{A} + 4 \vec{B} + 6 \vec{C}$$ Égalisons les coefficients : - Pour $\vec{A}$ : $3s = 2 \Rightarrow s = \frac{2}{3}$ - Pour $\vec{B}$ : $12(1 - s) = 4 \Rightarrow s = \frac{2}{3}$ - Pour $\vec{C}$ : $9s = 6 \Rightarrow s = \frac{2}{3}$ Tous les coefficients donnent $s = \frac{2}{3}$, donc $\vec{G}$ est bien sur (BK). 6. **Conclusion :** Le point $\vec{G} = \frac{\vec{A} + 2\vec{B} + 3\vec{C}}{6}$ est l'intersection des droites (EC) et (BK) et est le barycentre des points pondérés $(A,1), (B,2), (C,3)$. **Réponse finale :** $$\boxed{\vec{G} = \frac{\vec{A} + 2\vec{B} + 3\vec{C}}{6}}$$