1. Énoncé du problème. On donne deux droites parallèles (D) et (L). Un point Q appartient à (L). Une transversale issue de Q coupe (D) en P. Une seconde droite oblique passe par P et coupe la transversale entre P et Q. Le rayon issu de Q qui bissecte l'angle formé par les deux droites obliques rencontre ce segment oblique en R. Montrer que R appartient à l'axe médian des droites (D) et (L). 2. Choix d'un repère et description de l'axe médian. Pour simplifier les calculs, plaçons (L) : $y=0$ et (D) : $y=1$. Le point $Q$ est $(0,0)$. L'axe médian $m$ des deux droites parallèles est la droite $y=\tfrac{1}{2}$. 3. Définition de la symétrie par rapport à $m$. Considérons la symétrie orthogonale $\sigma$ d'axe $m$, donnée par $\sigma(x,y)=(x,1-y)$. Cette symétrie échange (L) et (D) et fixe chaque point de $m$. 4. Comportement de la configuration par symétrie. Sous $\sigma$, le point $Q\in(L)$ est envoyé sur $Q'=\sigma(Q)\in(D)$ et le point $P\in(D)$ est envoyé sur $P'=\sigma(P)\in(L)$. La transversale issue de $Q$ est envoyée sur la transversale issue de $Q'$. La seconde droite oblique passant par $P$ est envoyée sur la droite oblique symétrique passant par $P'$. 5. Conservation des angles par la symétrie. La symétrie orthogonale $\sigma$ préserve les mesures d'angle. Ainsi l'image par $\sigma$ de la bissectrice issue de $Q$ est la bissectrice issue de $Q'$. 6. Image du point R par la symétrie. Par définition $R$ est l'intersection de la bissectrice issue de $Q$ et d'une droite oblique donnée. Son image $R'=\sigma(R)$ est donc l'intersection de la bissectrice issue de $Q'$ et de la droite oblique symétrique. 7. Argument d'unicité et point fixe. La figure obtenue par application de $\sigma$ est la même figure inversée et, par construction géométrique, l'intersection correspondantante est unique, donc $R'$ coïncide avec le point de la figure d'origine qui joue le même rôle que $R$. Il en résulte $R'=R$, autrement dit $R$ est un point fixe de la symétrie $\sigma$. 8. Conclusion. Tout point fixe d'une symétrie d'axe $m$ appartient à $m$. Donc $R$ appartient à l'axe médian des droites (D) et (L), c'est-à-dire $R\in m$.