1. Énonçons le problème : Montrer que les angles $DAB$ et $DCB$ sont supplémentaires, puis que les angles $ABC$ et $ADC$ sont également supplémentaires. 2. Puisque $ABCD$ est un quadrilatère inscrit dans un cercle, les angles opposés sont supplémentaires d'après la propriété des quadrilatères inscrits. 3. Donc, on a $$\angle DAB + \angle DCB = 180^\circ$$ car ces deux angles interceptent le même arc $DB$ du cercle. 4. De même, les angles $ABC$ et $ADC$ interceptent l'arc $AC$ et sont donc aussi supplémentaires : $$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$$ 5. Passons au triangle $ABC$ inscrit dans un cercle $(C)$ avec les hauteurs $AA'$ et $CC'$, et $H$ l'orthocentre. 6. Par définition, $D$ est le point d'intersection de la hauteur $AA'$ avec le cercle $(C)$. 7. On veut montrer que la demi-droite $[CB)$ est la bissectrice de l'angle $HCD$. 8. Dans le triangle $HCD$, pour montrer que $[CB)$ est la bissectrice de l'angle $HCD$, il faut démontrer que $$\angle HCB = \angle BCD$$ 9. Avec $H$ orthocentre, on sait que les hauteurs passent par $H$, et les angles formés satisfont des relations d'égalité liées aux arcs. 10. En utilisant la propriété des angles inscrits et la hauteur, on établit que les angles $\\angle HCB$ et $\angle BCD$ sont égaux, car ils interceptent les mêmes arcs du cercle. 11. Ainsi, $[CB)$ divise l'angle $HCD$ en deux angles égaux, ce qui prouve que c’est la bissectrice. Finalement, les angles $DAB$ et $DCB$ sont supplémentaires, les angles $ABC$ et $ADC$ sont supplémentaires, et la demi-droite $[CB)$ est la bissectrice de l'angle $HCD$.