1. Énoncé du problème : Nous avons un triangle avec les côtés $A=5,9$, $B=3,4$ et l'angle $\alpha = 22^\circ$ opposé au côté $a$. Nous cherchons la valeur de l'angle $c$. 2. Formule utilisée : Dans un triangle, la somme des angles est toujours égale à $180^\circ$ : $$a + b + c = 180^\circ$$ 3. Rappel important : L'angle $\alpha$ donné est $22^\circ$, mais il faut identifier à quel angle correspond $a$, $b$, ou $c$. Supposons que $\alpha$ est l'angle $a$ opposé au côté $A$. 4. Calcul de l'angle $b$ : On peut utiliser la loi des cosinus pour trouver l'angle $b$ ou la loi des sinus si on connaît un autre angle et côté. Ici, on a $A$, $B$, et $a$ (angle $a$), mais pas $b$ ni $c$. 5. Utilisation de la loi des cosinus pour trouver $c$ : La loi des cosinus est : $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$$ Mais ici, $c$ est un angle, donc on doit utiliser la loi des sinus pour trouver les autres angles. 6. Loi des sinus : $$\frac{\sin(a)}{A} = \frac{\sin(b)}{B} = \frac{\sin(c)}{C}$$ 7. Calcul de $b$ : $$\sin(b) = \frac{B \sin(a)}{A} = \frac{3,4 \times \sin(22^\circ)}{5,9}$$ Calculons : $$\sin(22^\circ) \approx 0,3746$$ $$\sin(b) = \frac{3,4 \times 0,3746}{5,9} \approx \frac{1,2736}{5,9} \approx 0,2159$$ 8. Trouvons $b$ : $$b = \arcsin(0,2159) \approx 12,47^\circ$$ 9. Calcul de $c$ : $$c = 180^\circ - a - b = 180^\circ - 22^\circ - 12,47^\circ = 145,53^\circ$$ Réponse finale : L'angle $c$ vaut environ $145,53^\circ$.