1. **Énoncé du problème :** Déterminer, en justifiant la réponse, la mesure de l'angle $BDC$ dans un cercle où les points $A$, $B$, $C$, et $D$ appartiennent au cercle $(C)$. 2. **Formule utilisée :** Dans un cercle, l'angle inscrit interceptant un même arc est égal à la moitié de l'angle au centre interceptant cet arc. 3. **Rappel important :** L'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc. 4. **Travail intermédiaire :** On sait que l'angle $BDC$ est inscrit et intercepte l'arc $BC$. Si l'angle au centre interceptant l'arc $BC$ est $2 imes 80^ = 160^$, alors l'angle inscrit $BDC$ vaut $80^$. 5. **Conclusion :** La mesure de l'angle $BDC$ est donc $80^$.