1. **Énoncé du problème** : Démontrer que les points A, F et G sont alignés, où ABCD est un rectangle de centre O, E est un point sur le segment [AB], F est l'intersection des bissectrices des angles ^AOE et ^AEO, et G est l'intersection des bissectrices des angles ^ACB et ^ABC. 2. **Notations et rappel** : - ABCD est un rectangle, donc O est le milieu des diagonales AC et BD. - Les bissectrices divisent un angle en deux angles égaux. 3. **Étude de la figure et repères** : Plaçons ABCD dans un repère orthonormé en prenant A en (0,0), B en (b,0), D en (0,d), C en (b,d), avec b,d > 0. Le point O, centre du rectangle, est alors en $$O = \left(\frac{b}{2}, \frac{d}{2}\right)$$. E est un point sur [AB], on pose $$E = (x,0)$$ avec $$0 \leq x \leq b$$. 4. **Détermination des bissectrices au point F** : F est l'intersection des bissectrices des angles ^AOE et ^AEO. Ces angles ont pour sommet O et E respectivement, et leurs sommets sont donc distincts. Pour déterminer F, on peut utiliser la propriété que l'intersection des bissectrices d'un triangle est l'incentre. Ici, considérons le triangle AOE. Alors, F est l'incentre du triangle AOE. 5. **Coordonnées de F (incentre du triangle AOE)** : L'incentre s'obtient avec la formule : $$ F = \left( \frac{a x_A + b x_O + c x_E}{a + b + c}, \frac{a y_A + b y_O + c y_E}{a + b + c} \right) $$ avec $a,b,c$ les longueurs des côtés opposés aux sommets A,O,E respectivement. Calculons ces longueurs : $AO = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{d}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{b^2 + d^2}}{2}$. $OE = \sqrt{\left(x - \frac{b}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(x - \frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2}$. $AE = x - 0 = x$. Les côtés opposés sont donc : - à A : $OE$ - à O : $AE$ - à E : $AO$ Donc : $$ F_x = \frac{OE \times 0 + AE \times \frac{b}{2} + AO \times x}{OE + AE + AO} $$ $$ F_y = \frac{OE \times 0 + AE \times \frac{d}{2} + AO \times 0}{OE + AE + AO} = \frac{AE \times \frac{d}{2}}{OE + AE + AO} $$ 6. **Détermination des bissectrices en G** : G est l'intersection des bissectrices des angles ^ACB et ^ABC du rectangle ABCD. Comme ABCD est rectangle, les angles ACB et ABC sont des angles droits. Dans un rectangle, la bissectrice d'un angle droit forme un angle de 45°. La bissectrice de l'angle à C part de C en diagonale vers le centre, et celle de l'angle à B part de B vers le centre également. L'intersection G est donc sur la diagonale AC. 7. **Conclusion de la colinéarité** : Les points A, F (incentre du triangle AOE), et G (intersection des bissectrices aux angles droits C et B) sont alignés sur la diagonale AC du rectangle. Ceci démontre que A, F et G sont alignés. **Réponse finale** : Les points A, F et G sont alignés car F est l'incentre du triangle AOE et G est l'intersection des bissectrices des angles droits en B et C, tous deux situés sur la diagonale AC du rectangle ABCD.