1. **Énoncé du problème :** Déterminer au mètre carré près la superficie de la réserve de M. KIRIKOU dont les sommets sont les points images des solutions sur $[0 ; 2\pi[$ de l'équation $$4 \sin^2 x + 2(\sqrt{3} - 1) \cos x - 4 + \sqrt{3} = 0.$$ L'unité graphique de longueur est de 15 km. 2. **Formule et règles importantes :** Pour trouver la superficie d'un polygone dont les sommets sont donnés par des points $(x_i,y_i)$, on peut utiliser la formule du polygone de Gauss (ou formule du shoelace) : $$\text{Aire} = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$$ avec $x_{n+1} = x_1$ et $y_{n+1} = y_1$. 3. **Résolution de l'équation trigonométrique :** L'équation est $$4 \sin^2 x + 2(\sqrt{3} - 1) \cos x - 4 + \sqrt{3} = 0.$$ Utilisons l'identité $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ : $$4(1 - \cos^2 x) + 2(\sqrt{3} - 1) \cos x - 4 + \sqrt{3} = 0,$$ ce qui donne $$4 - 4 \cos^2 x + 2(\sqrt{3} - 1) \cos x - 4 + \sqrt{3} = 0,$$ soit $$-4 \cos^2 x + 2(\sqrt{3} - 1) \cos x + \sqrt{3} = 0.$$ Posons $t = \cos x$, alors $$-4 t^2 + 2(\sqrt{3} - 1) t + \sqrt{3} = 0.$$ Divisons par $-2$ pour simplifier : $$2 t^2 - (\sqrt{3} - 1) t - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.$$ 4. **Calcul du discriminant :** $$\Delta = (\sqrt{3} - 1)^2 + 4 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = (3 - 2\sqrt{3} + 1) + 4\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}.$$ 5. **Solutions pour $t$ :** $$t = \frac{(\sqrt{3} - 1) \pm \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}{4}.$$ On calcule $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ : $$4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} + 1)^2,$$ donc $$t = \frac{(\sqrt{3} - 1) \pm (\sqrt{3} + 1)}{4}.$$ 6. **Deux cas :** - Avec le signe $+$ : $$t_1 = \frac{(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1)}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$ - Avec le signe $-$ : $$t_2 = \frac{(\sqrt{3} - 1) - (\sqrt{3} + 1)}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}.$$ 7. **Valeurs de $x$ :** $$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi,$$ $$\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi,$$ avec $k \in \mathbb{Z}$. 8. **Points sur le cercle trigonométrique :** Les solutions dans $[0, 2\pi[$ sont $$x \in \left\{ \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \right\}.$$ Les points correspondants sont $$P_i = (\cos x_i, \sin x_i).$$ 9. **Calcul des coordonnées des sommets :** - $x_1 = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, y_1 = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ - $x_2 = \cos \frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, y_2 = \sin \frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2}$ - $x_3 = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}, y_3 = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $x_4 = \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}, y_4 = \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ 10. **Application de la formule du polygone :** $$\text{Aire} = \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_4 + x_4 y_1 - (y_1 x_2 + y_2 x_3 + y_3 x_4 + y_4 x_1)|.$$ Calculons chaque terme : - $x_1 y_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{4}$ - $x_2 y_3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4}$ - $x_3 y_4 = -\frac{1}{2} \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ - $x_4 y_1 = -\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$ Somme = $-\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ - $y_1 x_2 = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ - $y_2 x_3 = -\frac{1}{2} \times -\frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ - $y_3 x_4 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times -\frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4}$ - $y_4 x_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{4}$ Somme = $\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}$ 11. **Aire en unité graphique :** $$\text{Aire} = \frac{1}{2} |\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})| = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}.$$ 12. **Conversion en km² :** Chaque unité graphique correspond à 15 km, donc l'aire réelle est $$\text{Aire réelle} = \frac{1}{2} \times 15^2 = \frac{1}{2} \times 225 = 112.5 \text{ km}^2.$$ 13. **Conversion en m² :** $$112.5 \text{ km}^2 = 112.5 \times 10^6 \text{ m}^2 = 112500000 \text{ m}^2.$$ **Réponse finale :** La superficie de la réserve est d'environ $112500000$ mètres carrés.