1. Énoncé du problème : Deux filles, Laurie et Anne, sont situées respectivement aux points $L(-5,30)$ et $A(23,9)$ dans un plan cartésien. Elles souhaitent se rendre à la fontaine $F$, située aux cinquièmes de la distance entre Laurie et Anne, en partant de Laurie. 2. Calcul des coordonnées de la fontaine $F$ : La fontaine est située à $\frac{1}{5}$ de la distance entre $L$ et $A$, donc : $$ F = L + \frac{1}{5}(A - L) = \left(-5,30\right) + \frac{1}{5}\left(23 - (-5), 9 - 30\right) $$ $$ F = \left(-5 + \frac{1}{5} \times 28, 30 + \frac{1}{5} \times (-21)\right) = \left(-5 + 5.6, 30 - 4.2\right) = (0.6, 25.8) $$ 3. Calcul de la distance entre Laurie et la fontaine $F$ : $$ \text{distance}_{LF} = \sqrt{(0.6 + 5)^2 + (25.8 - 30)^2} = \sqrt{5.6^2 + (-4.2)^2} = \sqrt{31.36 + 17.64} = \sqrt{49} = 7 \text{ km} $$ 4. Calcul de la distance entre Anne et la fontaine $F$ : $$ \text{distance}_{AF} = \sqrt{(23 - 0.6)^2 + (9 - 25.8)^2} = \sqrt{22.4^2 + (-16.8)^2} = \sqrt{501.76 + 282.24} = \sqrt{784} = 28 \text{ km} $$ 5. Calcul du temps pour Anne de rejoindre la fontaine : Anne se déplace à la vitesse de 5 km/h donc : $$ \text{temps}_{A} = \frac{\text{distance}_{AF}}{\text{vitesse}_{A}} = \frac{28}{5} = 5.6 \text{ heures} $$ 6. Calcul de la vitesse que doit avoir Laurie pour arriver en même temps : Laurie doit parcourir 7 km en 5.6 heures donc : $$ \text{vitesse}_{L} = \frac{\text{distance}_{LF}}{\text{temps}_{A}} = \frac{7}{5.6} = 1.25 \text{ km/h} $$ **Réponse finale :** Laurie doit se déplacer à une vitesse de **1.25 km/h** pour arriver en même temps que Anne à la fontaine.