1. Énonçons le problème : Calculer le volume du bol creux obtenu en retirant le solide formé par la rotation de la courbe $y=2\sqrt{x-1}$ entre $x=1$ et $x=4$ autour de l'axe des $x$ du solide formé par la rotation de la droite $y=3x$ entre $x=0$ et $x=4$ autour de l'axe des $x$. 2. Volume du solide extérieur (rotation de $y=3x$ de $x=0$ à $x=4$) : Le volume d'un solide de révolution autour de l'axe des $x$ est donné par $$V=\pi \int_a^b [f(x)]^2 dx.$$ Ici, $$V_\text{ext} = \pi \int_0^4 (3x)^2 dx = \pi \int_0^4 9x^2 dx = 9\pi \int_0^4 x^2 dx.$$ Calculons l'intégrale : $$\int_0^4 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = \frac{4^3}{3} = \frac{64}{3}.$$ Donc, $$V_\text{ext} = 9\pi \times \frac{64}{3} = 192\pi.$$ 3. Volume du solide intérieur (rotation de $y=2\sqrt{x-1}$ de $x=1$ à $x=4$) : $$V_\text{int} = \pi \int_1^4 (2\sqrt{x-1})^2 dx = \pi \int_1^4 4(x-1) dx = 4\pi \int_1^4 (x-1) dx.$$ Calculons l'intégrale : $$\int_1^4 (x-1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_1^4 = \left( \frac{16}{2} - 4 \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = (8 - 4) - (0.5 - 1) = 4 + 0.5 = 4.5.$$ Donc, $$V_\text{int} = 4\pi \times 4.5 = 18\pi.$$ 4. Volume du bol creux : $$V_\text{bol} = V_\text{ext} - V_\text{int} = 192\pi - 18\pi = 174\pi.$$ 5. Conclusion : Le volume du bol creux est $$\boxed{174\pi}.$$