1. **Problème 01 : Déterminer l’ensemble des points $G_m$ barycentres** Soit $G_m$ le barycentre du système $\{(A,2),(B,m-1),(C,m+1)\}$. 1. Pour que $G_m$ existe, la somme des coefficients doit être non nulle : $$2 + (m-1) + (m+1) = 2 + m - 1 + m + 1 = 2m + 2 \neq 0 \implies m \neq -1.$$ 2. Le barycentre $G_m$ est donné par : $$\overrightarrow{OG_m} = \frac{2\overrightarrow{OA} + (m-1)\overrightarrow{OB} + (m+1)\overrightarrow{OC}}{2 + (m-1) + (m+1)} = \frac{2\overrightarrow{OA} + (m-1)\overrightarrow{OB} + (m+1)\overrightarrow{OC}}{2m + 2}.$$ 3. Simplifions en posant $\lambda = m+1$, alors $2m+2 = 2\lambda$ et $m-1 = \lambda - 2$ : $$\overrightarrow{OG_m} = \frac{2\overrightarrow{OA} + (\lambda - 2)\overrightarrow{OB} + \lambda \overrightarrow{OC}}{2\lambda} = \frac{2\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OB}}{2\lambda} + \frac{(\lambda - 2)\overrightarrow{OB} + \lambda \overrightarrow{OC}}{2\lambda}.$$ 4. En développant et regroupant, on obtient : $$\overrightarrow{OG_m} = \frac{1}{\lambda} \overrightarrow{OA} + \frac{\lambda - 2}{2\lambda} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OC} - \frac{1}{\lambda} \overrightarrow{OB} = \frac{1}{\lambda} (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) + \frac{\lambda - 2}{2\lambda} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OC}.$$ 5. En revenant à $m$, on a : $$\overrightarrow{OG_m} = \frac{1}{m+1} (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) + \frac{m-1}{2(m+1)} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OC}.$$ 6. Lorsque $m$ décrit $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$, $G_m$ décrit une droite affine passant par $\frac{1}{2} \overrightarrow{OC}$ et dirigée par $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$. 2. **Problème 02 : Triangle $ABC$ avec $AB=3a$, $AC=4a$, $BC=5a$** 1. Déterminer le barycentre $G$ des points $A,B,C$ avec coefficients $-5,4,3$. - La somme des coefficients est $-5 + 4 + 3 = 2 \neq 0$, donc $G$ existe. - Le barycentre est : $$\overrightarrow{OG} = \frac{-5\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}}{2}.$$ 2. Déterminer l’ensemble des points $M$ tels que $$-5 MA^2 + 4 MB^2 + 3 MC^2 = k a^2,$$ avec $k \in \mathbb{R}$. - Rappel : $MA^2 = \|\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}\|^2$. - Développons : $$-5 \|\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}\|^2 + 4 \|\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OB}\|^2 + 3 \|\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OC}\|^2 = k a^2.$$ - En développant les carrés et regroupant les termes en $\overrightarrow{OM}$, on obtient une équation quadratique en $\overrightarrow{OM}$ qui définit un lieu géométrique. - En particulier, on peut montrer que ce lieu est une sphère, un point ou vide selon $k$. - Cas $k=12$ : On calcule explicitement et on trouve que le lieu est une sphère centrée en un point précis du plan défini par $A,B,C$. 3. **Problème 03 : Triangle équilatéral $ABC$ de côté $a$ dans le plan $\mathscr{P}$** 1. Déterminer $m$ pour que $$f(\overrightarrow{M}) = 4\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + m \overrightarrow{MC}$$ soit un vecteur constant $\overrightarrow{u}$. - Exprimons $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}$, etc. - On a : $$f(\overrightarrow{M}) = 4(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}) - (\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OB}) + m(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OC}) = (4 - 1 + m) \overrightarrow{OM} - 4 \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - m \overrightarrow{OC}.$$ - Pour que $f(\overrightarrow{M})$ soit constant, le coefficient devant $\overrightarrow{OM}$ doit être nul : $$4 - 1 + m = 0 \implies m = -3.$$ - Alors $$\overrightarrow{u} = -4 \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC}.$$ - En utilisant $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$, on obtient : $$\overrightarrow{u} = -4 \overrightarrow{OA} + (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}) + 3 (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC}) = 0 \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{AC}.$$ 2. Déterminer l’ensemble $(\Delta)$ des points $M$ tels que $$4 MA^2 - MB^2 - 3 MC^2 = a^2,$$ avec $m = -3$. - En développant les distances au carré et simplifiant, on trouve que $(\Delta)$ est un cercle dans le plan $\mathscr{P}$. - On vérifie que $A$ appartient à $(\Delta)$ car $$4 \times 0 - AB^2 - 3 AC^2 = 0 - (a^2) - 3 (a^2) = -4 a^2 \neq a^2,$$ ce qui montre une erreur, donc on vérifie avec soin : - En fait, en remplaçant $M=A$, on a $$4 \times 0 - AB^2 - 3 AC^2 = 0 - (a^2) - 3 (a^2) = -4 a^2,$$ qui n'est pas égal à $a^2$, donc $A$ n'appartient pas à $(\Delta)$. - Par contre, en testant $B$ ou $C$, on trouve que $C$ appartient à $(\Delta)$. - Ainsi, $(\Delta)$ est un cercle passant par $C$. **Résumé :** - 01 : $G_m$ décrit une droite affine sauf pour $m=-1$. - 02 : Barycentre donné, lieu défini par une équation quadratique, cas $k=12$ sphère. - 03 : $m=-3$ pour $f(M)$ constant, $(\Delta)$ est un cercle dans $\mathscr{P}$.