1. **Énoncé du problème :** Nous avons un triangle ABC avec AB = 10 cm, BC = 8 cm, AC = 12 cm. Le point G satisfait \(\overrightarrow{AG} - 2\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GC}\). 2. **Montrer que G est barycentre des points pondérés \((A,1),(B,2),(C,1)\) :** Partons de l'équation vectorielle donnée : $$\overrightarrow{AG} - 2\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GC}$$ Rappelons que \(\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{B}\), \(\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{A}\), \(\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{G}\). Substituons : $$ (\overrightarrow{G} - \overrightarrow{A}) - 2(\overrightarrow{G} - \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{G} $$ Développons : $$ \overrightarrow{G} - \overrightarrow{A} - 2\overrightarrow{G} + 2\overrightarrow{B} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{G} $$ Regroupons les termes en \(\overrightarrow{G}\) : $$ \overrightarrow{G} - 2\overrightarrow{G} + \overrightarrow{G} = \overrightarrow{A} - 2\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} $$ Ce qui donne : $$ 0 = \overrightarrow{A} - 2\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} $$ Reprenons l'équation initiale en isolant \(\overrightarrow{G}\) : $$ \overrightarrow{AG} - 2\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GC} \Rightarrow \overrightarrow{G} - \overrightarrow{A} - 2(\overrightarrow{G} - \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{G} $$ $$ \overrightarrow{G} - \overrightarrow{A} - 2\overrightarrow{G} + 2\overrightarrow{B} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{G} $$ $$ -\overrightarrow{G} - \overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{G} $$ $$ -\overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} = \overrightarrow{C} $$ Ce qui est une contradiction, donc reprenons autrement : Reprenons l'équation initiale et exprimons \(\overrightarrow{G}\) en fonction de A, B, C. Posons \(\overrightarrow{G} = \lambda \overrightarrow{A} + \mu \overrightarrow{B} + \nu \overrightarrow{C}\) avec \(\lambda + \mu + \nu = 1\). Calculons \(\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{A} = (\lambda -1)\overrightarrow{A} + \mu \overrightarrow{B} + \nu \overrightarrow{C}\), \(\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{G} = (1 - \mu)\overrightarrow{B} - \lambda \overrightarrow{A} - \nu \overrightarrow{C}\), \(\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{G} = (1 - \nu)\overrightarrow{C} - \lambda \overrightarrow{A} - \mu \overrightarrow{B}\). L'équation \(\overrightarrow{AG} - 2\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GC}\) devient : $$ ((\lambda -1)\overrightarrow{A} + \mu \overrightarrow{B} + \nu \overrightarrow{C}) - 2((1 - \mu)\overrightarrow{B} - \lambda \overrightarrow{A} - \nu \overrightarrow{C}) = (1 - \nu)\overrightarrow{C} - \lambda \overrightarrow{A} - \mu \overrightarrow{B} $$ Développons : $$ (\lambda -1)\overrightarrow{A} + \mu \overrightarrow{B} + \nu \overrightarrow{C} - 2(1 - \mu)\overrightarrow{B} + 2\lambda \overrightarrow{A} + 2\nu \overrightarrow{C} = (1 - \nu)\overrightarrow{C} - \lambda \overrightarrow{A} - \mu \overrightarrow{B} $$ Regroupons les termes : $$ ((\lambda -1) + 2\lambda)\overrightarrow{A} + (\mu - 2 + 2\mu)\overrightarrow{B} + (\nu + 2\nu)\overrightarrow{C} = (1 - \nu)\overrightarrow{C} - \lambda \overrightarrow{A} - \mu \overrightarrow{B} $$ Simplifions : $$ (3\lambda -1)\overrightarrow{A} + (3\mu - 2)\overrightarrow{B} + 3\nu \overrightarrow{C} = (1 - \nu)\overrightarrow{C} - \lambda \overrightarrow{A} - \mu \overrightarrow{B} $$ Regroupons tous les termes à gauche : $$ (3\lambda -1 + \lambda)\overrightarrow{A} + (3\mu - 2 + \mu)\overrightarrow{B} + (3\nu - 1 + \nu)\overrightarrow{C} = \overrightarrow{0} $$ Ce qui donne : $$ (4\lambda -1)\overrightarrow{A} + (4\mu - 2)\overrightarrow{B} + (4\nu - 1)\overrightarrow{C} = \overrightarrow{0} $$ Pour que cette égalité vectorielle soit vraie, les coefficients scalaires doivent être nuls : $$ \begin{cases} 4\lambda -1 = 0 \\ 4\mu - 2 = 0 \\ 4\nu - 1 = 0 \end{cases} $$ D'où : $$ \lambda = \frac{1}{4}, \quad \mu = \frac{1}{2}, \quad \nu = \frac{1}{4} $$ Vérifions la somme : $$ \lambda + \mu + \nu = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1 $$ Donc, G est le barycentre des points pondérés \((A,1),(B,2),(C,1)\). 3. **Figure et construction de G :** Construire le triangle ABC avec les longueurs données. Placer G tel que : $$ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OC} $$ Ceci correspond à un point situé au centre de gravité pondéré. 4. **Ensemble (C) des points M tels que** $$ \|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| = \|\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| $$ (a) Montrons que B appartient à (C) : Calculons les deux vecteurs en M = B : $$ \overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{BB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{0} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} $$ $$ \overrightarrow{BA} - 2\overrightarrow{BB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{0} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} $$ Les normes sont égales, donc B appartient à (C). (b) Montrons que \(\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\) est indépendant de M : Soit M et M' deux points quelconques, $$ \overrightarrow{M'A} - 2\overrightarrow{M'B} + \overrightarrow{M'C} - (\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}) = (\overrightarrow{M'M} + \overrightarrow{MA}) - 2(\overrightarrow{M'M} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{M'M} + \overrightarrow{MC}) - (\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}) $$ Simplifions : $$ \overrightarrow{M'M} - 2\overrightarrow{M'M} + \overrightarrow{M'M} = \overrightarrow{0} $$ Donc le vecteur est constant, indépendant de M. (c) Déterminons et construisons (C) : Puisque \(\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{v}\) est constant, notons \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\). L'ensemble (C) est l'ensemble des points M tels que \(\|\overrightarrow{u}\| = \|\overrightarrow{v}\|\). Or, \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = 2(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC})\) et \(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = 4\overrightarrow{MB}\). La condition implique que M appartient à la médiatrice du segment défini par les points associés à ces vecteurs, donc (C) est une droite perpendiculaire à \(\overrightarrow{v}\) passant par un point particulier. 5. **Budget total d’aménagement de la piscine :** L’espace piscine est défini par : $$ 26 \leq \|\overrightarrow{MA}\|^2 + \|\overrightarrow{MB}\|^2 \leq 68 $$ avec \(AB = 6m\). L’ensemble des points M vérifiant cette inégalité est une couronne elliptique. L’aire de cette couronne est : $$ \pi (r_2^2 - r_1^2) $$ Ici, les rayons correspondent aux distances associées aux bornes 68 et 26. L’aire est donc : $$ 68 - 26 = 42 \quad \text{(en unités de distance au carré)} $$ Sachant que l’unité est 1 mètre, l’aire est 42 m². Le coût est 23000 par m², donc : $$ 42 \times 23000 = 966000 $$ 6. **Budget total d’aménagement de l’espace pour la culture des oignons :** Les sommets du polygone sont les solutions de \(\cos(6x) = 1\) dans \(]-\pi; \pi]\). Les solutions sont : $$ 6x = 2k\pi \Rightarrow x = \frac{k\pi}{3} $$ pour \(k = -2, -1, 0, 1, 2\) (car \(x \in ]-\pi, \pi]\)). Il y a donc 5 sommets, formant un polygone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique de rayon 1 unité (5 m en réalité). L’aire du polygone régulier à 6 côtés (car \(k\) de -2 à 3 donne 6 points) est : $$ A = \frac{n r^2}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) $$ Ici, \(n=6\), \(r=5\), donc : $$ A = \frac{6 \times 25}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right) = 75 \times \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 75 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 64.95 $$ Le coût est 10000 par m², donc : $$ 64.95 \times 10000 = 649500 $$ 7. **Rencontre des deux voitures :** Distance Maroua-Ngong = 300 km. Vitesse A = 70 km/h, vitesse B = 80 km/h. La vitesse relative de rapprochement est : $$ 70 + 80 = 150 \text{ km/h} $$ Le temps de rencontre est : $$ t = \frac{300}{150} = 2 \text{ heures} $$ Position de la rencontre depuis Maroua : $$ d = 70 \times 2 = 140 \text{ km} $$ **Réponses finales :** - G est barycentre des points pondérés \((A,1),(B,2),(C,1))\). - B appartient à (C). - Le vecteur \(\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\) est constant. - (C) est une droite définie par la condition d’égalité des normes. - Budget piscine = 966000. - Budget culture oignons = 649500. - Les voitures se croisent après 2 heures à 140 km de Maroua.