1. On considère un triangle avec les points A, B, C. 2. Construire le point I tel que $\overrightarrow{BI} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BC}$. Cela signifie que I est sur le segment BC, à $\frac{2}{3}$ de B vers C. 3. Construire le point J tel que $\overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BT}$. Le point J est obtenu en effectuant la translation de B par le vecteur $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BT}$. 4. Montrer que J est l'image de A par la translation de vecteur $\overrightarrow{BI}$. Comme $\overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BT}$, en reprenant la relation entre les vecteurs, on peut exprimer $\overrightarrow{BJ}$ en fonction de $\overrightarrow{BI}$ et montrer la translation demandée. 5. Construire le point M tel que $\overrightarrow{BM} = 2 \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}$. 6. Montrer que les points A, M et C sont alignés. On exprime $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AC}$ et montre que $\overrightarrow{AM}$ est un multiple scalaire de $\overrightarrow{AC}$. 7. Soit K le point tel que $\overrightarrow{AK} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB} - 3 \overrightarrow{AC}$. 8. Exprimer $\overrightarrow{AK}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BA}$. Utiliser que $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$, puis factoriser. 9. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AK}$ et $\overrightarrow{BM}$ sont colinéaires. Comparer les expressions trouvées à l'étape 5 et 8. 10. Soit $(E)$ le cercle de centre B passant par A, et $(\Delta)$ la tangente à $(E)$ en A. 11. Déterminer et construire $(A)$ et $(E)$ conformément aux instructions données. 12. Montrer que la tangente (△1) est tangente à (e'). 13. Montrer que la droite (AB) contient (e) en A et la droite (tj) contient (e') en t. 14. Montrer que H est l'image de Q par la translation du vecteur $\overrightarrow{Bt}$.